Deje $L/K$ ser un Galois de la extensión de los campos de número. Para $\mathfrak p$ un primer de $K$, unramified en $L$, el Frobenius elementos $\sigma_{\mathfrak P}$ para $\mathfrak P \mid \mathfrak p$ son conjugadas, por lo que si $\chi$ es una función de la clase en $G = \operatorname{Gal}(L/K)$, $\chi(\sigma_{\mathfrak p}) := \chi(\sigma_{\mathfrak P})$ está bien definido.
Suponga que $L/K$ es abelian, y $\chi$ es un personaje de $\operatorname{Id}(c)/P_c \mathfrak N(c)$ (que es isomorfo a $G$ a través de la Artin mapa). El Weber L-función está definida para $\operatorname{Re}(s) > 1$ por
$$L(s,\chi) = \prod\limits_{\mathfrak p} L_{\mathfrak p}(s,\chi) = \prod\limits_{\mathfrak p} (1 - \chi(\mathfrak p) N(\mathfrak p)^{-s})^{-1}$$
Identificar las $\chi$ como un personaje de $G$ a través de la Artin mapa. Al $\mathfrak p$ es unramified, se identifica con $\sigma_{\mathfrak p}$. Ahora, en lugar de un carácter de $G$, tomar un número finito de dimensiones representación $\rho: G \rightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb C)$ de % de $G$ con carácter $\chi$. Considerar la formal logaritmo del factor local:
$$\log L_{\mathfrak p}(s,\chi) = \log (1 - \chi(\sigma_{\mathfrak p}) N(\mathfrak p)^{-s})^{-1} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\chi(\sigma_{\mathfrak p}^k)}{kN(\mathfrak p)^{sk}}$$
Las notas que estoy leyendo a decir que "Esto exponentiates a $L_{\mathfrak p}(s,\chi) = \operatorname{Det}(I_n - N(\mathfrak p)^{-s} \rho(\sigma_{\mathfrak p}))^{-1}$." No entiendo cómo se hace. ¿De dónde viene el determinante surgir a partir de la traza $\chi(g) := \operatorname{tr}(\rho(g))$ y el exponencial mapa?
