Demostrar que $L^{\infty}(\mathbb R)\cap C(\mathbb R)$ no es denso en $L^{\infty}(\mathbb R)$

Question

Aquí $C(\mathbb R)$ es el conjunto de todas las funciones continuas en $\mathbb R$ Así que el problema me pide que demuestre que existe $f \in L^\infty(\mathbb R)$ tal que no hay ninguna secuencia de funciones en $\mathbb R$ que convergen bajo la norma sup a $f$ . Además, las funciones continuas no tienen necesariamente un soporte compacto.

¿Alguien tiene ideas? Gracias por su tiempo.

Answer 1

Tome la función $f(x)=1_{[0,1]}+1_{[2,3]}$ Tenemos que $f \in L^{\infty}$ y $f$ no es continua.

Si existiera una secuencia de funciones continuas que convergen uniformemente (bajo la norma sup) a $f$ entonces $f$ sería continua, lo cual es una contradicción.