No puedo resolver este problema de geometría de triángulo

Question

Tengo el siguiente triángulo:

La siguiente información acerca de él son:

• ABCD es un trapecio (AB || DC)
• EF || DC
• Q es la intersección de CA, DB, PN, & EF

Demostrar que EQ = QF.

Ya que no tengo valores numéricos, he intentado resolverlo por varios triangular de la relación de las identidades a través de las similitudes y del teorema de Thales. La única manera de crear una relación entre el EQ y el QF de que yo podía pensar era este:

$$\bigtriangleup \text{APM} \sim \bigtriangleup \text{EPQ} \text{ and } \bigtriangleup \text{PMB} \sim \bigtriangleup \text{PQF}$$

$$\begin{cases} \frac{AM}{EQ} = \frac{PM}{PQ} \\ \frac{MB}{QF} = \frac{PM}{PQ} \end{casos}$$

He intentado de intercambio en torno a la redundantes longitudes para intentar llegar a la deseada ecuación, sino porque me falta la dirección y la metodología me pierdo y frustrado. Me siento como que estoy haciendo conjeturas.

¿Cómo puedo solucionar este problema en particular, y cómo puedo hacer frente a los problemas de este tipo de manera más efectiva?

Answer 1

La primera y la última igualdad se deben a la similitud de triángulos ( $BQF\sim BDC$ y $AEQ \sim ADC$ ) y en el medio debido al teorema de Thales (en ángulo hasta $Q$ ).

PS

Answer 2

Vamos a denotar $Q$ la intersección de $AC$ e $BD$, $M$ el punto medio de la $AB$ e $N$ el punto medio de la $DC$.

Vamos a probar, primero, que $P, M, Q, N$ están alineados.

El homothetic transformación de centro $P$ que transforma $A$ a $D$, transforma $B$ a $C$ como $ABCD$ es un trapecio. Por lo tanto, por esta homothetic transformación, $M$ e $N$ están alineados con el centro $P$.

Considerando ahora el homothetic transformación de centro $Q$ que transforma $A$ a $C$ e $B$ a $D$, se obtiene por un argumento similar que $M, Q,N$ están alineados.

Finalmente, $P, M, Q, N$ están alineados. Ahora, $Q$ es la media de $EF$ por el teorema de Thales.

Answer 3

Por similitud dos veces y por Thales para $\angle DPC$ obtenemos: $$\frac{EQ}{AB}=\frac{DE}{DA}=\frac{CF}{CB}=\frac{QF}{AB}.$ $