Encontrar la línea tangente que intersecta un quartic en dos puntos.

Question

Estoy tratando de encontrar un sencillo cálculo, la solución a esta pregunta. He encontrado una solución algebraica, pero yo no creo que sea la forma más rápida de hacerlo. Gracias de antemano!

Encontrar la función lineal $g(x)=mx+b$ cuya gráfica es tangente a la gráfica de $f(x)=x^4-6x^3+13x^2-10x+7$ a los dos puntos.

Aquí está mi algebraicas solución: Vamos a $(x_1,f(x_1))$ e $(x_2,f(x_2))$ ser los puntos donde se $g(x)$ es tangente a $f(x)$. Vamos a formar la función de $h(x)=f(x)−g(x)$, lo $h(x)=x^4−6x^3+13x^2−(10+m)x+7−b$. Los ceros de $h(x)$ se $x=x_1$ e $x=x_2$y también sabemos que $h(x)≥0$ para todos los $x$. Lo bueno es que $h(x)$ también puede ser escrito como $h(x)=(x−x_1)^2(x−x_2)^2$. Podemos extender esto para obtener $h(x)=x^4−2(x_1+x_2)x^3+(x^2_1+4x_1x_2+x^2_2)x^2−2(x^2_1x_2+x_1x^2_2)x+x^2_1x^2_2$. Mediante la comparación de las dos formas de $h(x)$, se puede disfrutar de la $x_1=1$ e $x_2=2$ (o viceversa) y, por tanto, $m=2$ e $b=3$. Quiero ver un calc solución de esta cuestión ya que apareció en calc de la prueba.

Answer 1

Deje $h(x)=f(x)-g(x)$ ser la distancia entre las funciones. Tenga en cuenta que $h(x)$ es un monic polinomio de cuarto grado. Si la recta tangente a $g(x)$ corta a la gráfica de $f(x)$ a $x=c$ e $x=d$,, a continuación, $h(x)$ debe desaparecer $x=c$ e $x=d$, por lo que el monomials $x-c$ e $x-d$ brecha $h(x)$.

Además, debido a que los derivados de $f(x)$ e $g(x)$ partido en $x=c$ e $x=d$, la derivada de $h'(x)$ debe desaparecer de allí. Esto significa $h(x)$ debe ser divisible por, al menos, $(x-c)^2$ e $(x-d)^2$. El único monic el cuarto grado es $h(x)=(x-c)^2(x-d)^2$.

Por lo tanto estamos en busca de $c$ e $d$ tal que

$$(x-c)^2(x-d)^2=x^4-2(c+d)x^3+(c^2+d^2-4cd)x^2-2(cd^2+c^2d)x+c^2d^2\\=x^4-6x^3+13x^2-10x+7-(mx+b)$$

Así que desde el cúbicos plazo tenemos $c+d=3$, y el término cuadrático da $c^2+d^2-4cd=13.$ de Sustitución de los rendimientos de una ecuación cuadrática con soluciones de $c=1,2$. A continuación, $12=m+10$ lo $m=2$, e $7-b=4$ lo $b=3.$ Lo $g(x) = 2x+3.$

Answer 2

Una solución es una variación en el conocido concepto de completar el cuadrado.

Ha $f(x)=x^4-6x^3+13x^2-10x+7$ y usted está buscando una función lineal $g(x)=mx+b$ tales que la diferencia de $f(x)-g(x)$ tiene un par de doblemente degenerados ceros. Lo que hace la diferencia de un cuadrado de la cantidad:

$f(x)-g(x)=x^4-6x^3+13x^2-(m+10)x+(7-b)=(x^2+a_1x+a_0)^2$

Ahora acaba de ampliar la plaza y equiparar los términos de igual grado, copia de la sustitución de determinados previamente las cantidades en cada caso. La solución prácticamente salta a usted con ninguna resistencia:

Grado 4: $1=1$ del curso

Grado 3: $2a_1=-6$, lo $a_1=-3$

Grado 2: $2a_0+(a_1)^2=13$, lo $a_0=2$

Grado 1: $2a_0a_1=-(m+10)$, lo $m=2$

Grado 0: $(a_0)^2=7-b$, lo $b=3$

Por lo $g(x)=mx+b=2x+3$.

En general, puede esperar que los valores reales de todos los parámetros cuando se pone en un verdadero cuarto grado de la función. Pero los puntos de tangencia podría haber imaginario coordenadas. De aquí que existan en el avión real, porque el cuadrado de la cantidad, $(x^2+a_1x+a_0)^2$, tiene real ceros.