¿Qué anillos infinitos satisfacen lo siguiente?
¿Cada polinomio que no sea cero en$R[X]$ tiene solo muchas raíces?
¿Hay tales anillos que no son dominios integrales?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Suponga $R$ es un infinito anillo, es decir, cada no-cero del polinomio tiene sólo un número finito de raíces.
Si $a \in R$ es un cero-divisor, el conjunto de raíces de $ax \in R[x]$ es, precisamente, el Aniquilador de $a$, que es un ideal en el $R$.
Deje $0 \neq b \in \operatorname{Ann}(a)$. Por supuesto, $bR$ debe ser finito, porque tenemos $bR \subset \operatorname{Ann}(a)$. Considerar el mapa de $$R \to bR, 1 \mapsto b.$$
La imagen es finito, por lo tanto el núcleo debe ser infinito (desde $R$ es infinito). Pero el núcleo es precisamente el conjunto de raíces de $bx \in R[x]$, contradicción!
Conclusión: Un infinito anillo (conmutativo, con $1$) cumple su propiedad iff es una parte integral de dominio.
Ricky Ricardo
Puntos
201
Esta es una respuesta incompleta a su pregunta, sino que cubre un poco justo de la tierra. No me he enterado de algún teorema que clasifica esta exactamente para todos los anillos, pero yo, no pretende ser un experto en el anillo de la teoría! Espero otra respuesta viene junto con la clasificación ampliada de los resultados!
Así que vamos a cuidar el caso fácil primero: Si $R$ es una parte integral de dominio, entonces, ciertamente, cada una de las $p(x) \in R[x]$ de positivos grado tiene un número finito de raíces. De hecho, como usted sin duda conscientes, si $n = \deg p$ entonces $p(x)$ tiene más de $n$ raíces en $R$. Esto puede ser demostrado por el habitual argumento inductivo mediante el algoritmo de la división.
Por lo tanto esto funciona para los anillos en el que el algoritmo de la división se mantiene, a la derecha? Bueno, en realidad, no, no del todo. El ejemplo clásico es que a través de los cuaterniones anillo de $R=\mathbb{H}$ (que tiene a la izquierda y a la derecha de la división de algoritmos) el polinomio $p(x) = x^2 + 1$ tiene una infinidad de raíces. Como se discutió en las respuestas a esta pregunta, el "usual argumento inductivo" me acaba de saltar sobre integral dominios $R$ sutilmente se basa en el hecho de que $R$ es conmutativa.
De ahí trasladarse a la no-conmutativa anillos plantea problemas. Del mismo modo, si $R$ (es infinito y) tiene divisores de cero, entonces distinto de cero polinomios con una infinidad de raíces surgen siempre. De hecho, si $R$ es infinito y $a,b \in R \setminus\{0\}$ con $ab = 0$,, a continuación, $br$ es una raíz de $f(x) = ax$ para todos los $r \in R$.
Esperemos que esto le da una perspectiva sobre su pregunta. Si hay más finos dientes de clasificaciones de la no-conmutativa de los anillos en la que todos los polinomios tienen finitely-muchas raíces, espero verlos aquí.
