¿Por qué no puedo diferenciar$ x^{\sin x} $ usando la regla de poder?

Question

Estoy tratando de diferenciar $ x^{\sin x} $, con respecto al $ x $ e $x > 0 $. Mi libro de texto inicia con $ y = x^{\sin x} $, toma logaritmos en ambos lados y llega a la respuesta $$ x^{\sin x - 1}.\sin x + x^{\sin x}.\cos x \ \log x $$

Por qué no puedo usar el poder de la regla para proceder de la siguiente manera: $ y' = (\sin x) \ x^{\sin x-1} \cos x $.

Aquí, he primer diferenciadas $ x $ con respecto al $ \sin x $ y, a continuación, he diferenciado $ \sin x $ con respecto al $ x $ conseguir $ \cos x $.

Answer 1

El poder de la regla establece que la derivada de una función de la forma $x^k$ es $kx^{k-1}$ donde $k$ es un número real. En su caso, $\sin x$ es variable, y puede toma los valores de $-1$ a $+1$, por lo que no es constante.

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Para demostrar el poder de la regla, tenga en cuenta que $y=x^k\implies \ln y=k\ln x\implies \frac{y'}y=\frac kx\cdot$ a través de la regla de la cadena. Por lo tanto, $y'=x^k\frac kx=kx^{k-1}$. Cuando $K=\sin x$, tenemos que hacer más para manipular la RHS, ya $(\sin x\ln x)'\ne \frac{\sin x}x$.

Answer 2

$(x^k)'=kx^{k-1},$ donde $k$ es constante.

En nuestro caso $\sin{x}\neq constant$ y no podemos usar esta regla.

Por cierto, $$\left(x^{\sin{x}}\right)'=\left(e^{\sin{x}\ln{x}}\right)'=e^{\sin{x}\ln{x}}(\sin{x}\ln{x})'=...$ $ ¿Puedes terminarlo ahora?

Answer 3

Porque la regla de potencia requiere que el exponente sea una constante . $\sin x$ definitivamente no es una constante.

Answer 4

Está intentando usar la regla $$\frac{d}{dx}f(g(x)) = g'(x)f'(g(x))$ $

Pero esta regla no se aplica aquí, porque $x^{\sin x}$ no es solo una función de $\sin x$ , es una función de $x$ y $\sin x$ .