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Question

Se me pide que muestre$\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{x^2+t^2}dx = \frac{\pi}{2}e^{-at}$ cuando$t,a > 0$. Intenté usar la integración por partes integrando$\frac{x}{x^2+t^2}$. Pero parece que$\frac{x\sin ax}{x^2+t^2}$ no tiene antiderivada. ¿Qué debo intentar?

Answer 1

Al utilizar la integración de contorno o la inversión de Fourier, se puede mostrar que si$a>0$ entonces$$ \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iax}}{1+x^2}\;dx=e^{-a}$ $ lo que implica que$$ \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^2}\;dx=e^{-a}$ $ if$a>0$. La diferenciación con respecto a$a$ luego produce$$\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(ax)}{1+x^2}\;dx=\frac{\pi}{2}e^{-a}$ $ y finalmente reemplaza$a$ con$at$ y al hacer una sustitución en la integral, se obtiene el resultado deseado.

Answer 2

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Pensé que podría ser instructivo para presentar un camino a seguir que se basa en análisis real y sólo priva de análisis complejo. Para ello, vamos a proceder.

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Deje $I(a,t)$ ser dada por

$$\begin{align} I(a,t)&=\int_0^\infty \frac{x\sin(ax)}{x^2+t^2}\,dx\\\\ &\overbrace{=}^{x\mapsto x|t|}\int_0^\infty \frac{x\sin(a|t|x)}{x^2+1}\,dx\\\\ &=\int_0^\infty \frac{(x^2+1-1)\sin(a|t|x)}{x(x^2+1)}\,dx\\\\ &=\int_0^\infty \frac{\sin(a|t|x)}{x}\,dx-\int_0^\infty \frac{\sin(a|t|x)}{x(x^2+1)}\,dx\\\\ &=\frac\pi2\text{sgn}(a|t|)-\int_0^\infty \frac{\sin(a|t|x)}{x(x^2+1)}\,dx\tag1 \end{align}$$

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Para $|at|>\delta>0$, el de las integrales $\int_0^\infty \frac{\cos(a|t|x)}{x^2+1}\,dx$ e $\int_0^\infty \frac{x\sin(a|t|x)}{x^2+1}\,dx$ convergen uniformemente y podemos diferenciar dos veces (con respecto a $a|t|$) en virtud de la integral en el lado derecho de la $(1)$ encontrar para $|at|\ge \delta>0$

$$\frac{d^2I(a,t)}{d(a|t|)^2}=I(a,t)\tag2$$

La solución general a $(2)$ es $I(a,t)=Ae^{-a|t|}+Be^{a|t|}$. Para encontrar las constantes de integración $A$ e $B$ invocamos las condiciones (i) $\lim_{at\to 0^+}I(a,t)=\frac{\pi}{2}$ y $(ii)$ $\left.\left(\frac{dI(a,t)}{d(a|t|)}\right)\right|_{a|t|=0}=-\frac\pi2$. Procedimiento, nos encontramos con que $A=\frac\pi2$ e $B=0$.

Poniendo todo junto y la explotación de la rareza de el integrando alrededor de $a$, nos encontramos con que

$$I(a,t)=\text{sgn}(a)\frac\pi2 e^{-|at|}$$

Y hemos terminado!

Answer 3

Por el teorema de residuos, y debido a la paridad de su integrando, podemos escribirlo como

PS

$$\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{z\Im \left(e^{iaz}\right)}{(z + it)(z-it)}\ dz = \frac{1}{2}\Im\int_{|z|=1} \frac{z\Im \left(e^{iaz}\right)}{(z + it)(z-it)}\ dz$ se encuentra en la mitad superior del plano, por lo tanto, mediante la fórmula de residuos:

PS

De donde el resultado

PS