Atiyah y Macdonald, Proposición 2.9

Question

La siguiente afirmación es utilizado sin la prueba de la Proposición 2.9 de Atiyah y MacDonald (p.23). Aunque creo que puede resultar bastante con un implicados argumento, la afirmación de que es tratado por los autores como una tontería me parece que no debe ser un simple argumento. Hay un argumento?

Deje $M, N$ ser $A$-módulos. Deje $v\colon M \to N$ ser un homomorphism. Supongamos que para todos los $A$-módulos de $P$, el doble de mapas de $v^*\colon\operatorname{Hom}(N,P) \to \operatorname{Hom}(M,P)$ son inyectiva. A continuación, $v$ es surjective.

(Tenga en cuenta que la demanda es trivial gratis módulos, pero estoy en busca de un general de la prueba).

Answer 1

Considere la secuencia exacta$M \to N \to C \to 0$, donde$C$ es el cokernel de$v$. Entonces para cualquier$A$ - módulo$P$ tenemos una secuencia exacta$\DeclareMathOperator{\h}{Hom} 0 \to \h(C,P) \to \h(N,P) \to \h(M,P)$. Suponiendo que el último mapa es inyectivo, entonces tenemos$\h(C,P) = 0$. Dado que esto se mantiene para todos los$P$, se mantiene especialmente para$P = C$, por lo que concluimos$C=0$ y, por lo tanto,$v$ es supuesta.

Answer 2

Deje$P=N/v(M)$, luego la imagen del mapa de cociente natural$q :N \rightarrow N/v(M)$ es cero, por lo que$q$ es en realidad cero, y$N=v(M)$.