Si$a^2 + b^2$ es un número primo$p$, con$p \equiv 1$ (mod$4$), entonces$a + bi$ es primo en los enteros gaussianos$\mathbb{Z}[i]$

Question

Sé que hay muchas preguntas similares a esto, pero la razón por la que estoy confundido es que parece que puedes probar esto simplemente sabiendo que$a^2 + b^2 = p$ y no usar el hecho de que$p \equiv 1$ (mod $4$) por el siguiente:

Supongamos que$a + bi = xy$ ($x, y\in\mathbb{Z}[i]$). Entonces $N(x)N(y) = N(a + bi) = p$. Esto implica que$N(x) = 1$ o$N(y) = 1$ lo que nos dice que$a + bi$ es irreductible y, por lo tanto, primo en el anillo de enteros gaussianos. ¿Debo usar el hecho de que$p$ es congruente con$1$? ¡La ayuda sería apreciada!

Answer 1

Su argumento es correcto, pero tenga en cuenta que solo es posible escribir$p=a^2+b^2$ para enteros$a,b$ si$p=2$ o$p\equiv 1$ (mod$4$). Esto se debe a que los mod de cuadrados$4$ son$0$ y$1$.

Answer 2

El bit sobre$p \equiv 1 \pmod 4$ parece haberle disparado un poco, ya que los números con una norma de$2$ (específicamente$1 + i$,$1 - i$,$-1 - i$ y$-1 + i$) también son primos.

Puedes ir más allá y aplicar tu argumento a otros dominios porque$N(u) = \pm 1$ significa que$u$ es una unidad y esa es la única posibilidad de$xy$ si$N(xy)$ es primo.

Answer 3

Un par de aclaraciones están en orden. En primer lugar, que $p \in \textbf Z$ es positivo impar número primo. Por ejemplo, $5 \equiv 1 \pmod 4$ pero $-5 \equiv 3 \pmod 4$ aún $(-2 + i)(2 + i) = -5$.

Segundo, $\textbf Z[i]$ es una única factorización de dominio en el que todos los no-unidad irreductible de los números también son excelentes.

Tercero, la norma de la función de los mapas de los enteros algebraicos de $\textbf Z[i]$ a los números enteros no negativos de $\textbf Z$ (es decir, $0$ y los enteros positivos).

Con esos preliminares cuidado, la prueba esta en perfecto estado. Ya que la norma es multiplicativo, $N(x) N(y) = p$ hecho significa que, o bien $x$ o $y$ debe ser una unidad y, por tanto, $a + bi$ es primo.