La irracionalidad de "primos codificado en binario"

Question

Para la diversión, he estado considerando el número de

$$ \ell := \sum_{p} \frac{1}{2^p} $$

Es claro que la suma converge y, por tanto, $\ell$ es finito. $\ell$ también tiene el binario de expansión $$ \ell = 0.01101010001\dots_2 $$ con un $1$ $p^{th}$ lugar y ceros en otros lugares. También he calculado un par de términos (y con la ayuda de Wolfram Alpha, Plouffe del Inversor, y este enlace de Plouffe del Inversor) he encontrado que $\ell$ tiene la expansión decimal

$$ \ell = .4146825098511116602481096221543077083657742381379169778682454144\dots. $$ Basado en la expansión decimal y el hecho de que $\ell$ puede ser bien aproximada por racionales, parece muy probable que $\ell$ es irracional. Sin embargo, he sido incapaz de probar este.

Pregunta: ¿alguien Puede proporcionar una prueba de que $\ell$ es irracional?

Answer 1

Que $\ell$ es irracional es clara. Hay arbitrariamente grandes espacios entre números primos consecutivos, por lo que el binario de expansión de $\ell$ no puede ser periódica. Cualquier racional tiene un periódico binario de expansión.

El hecho de que hay arbitrariamente grandes espacios entre números primos consecutivos viene de la observación de que si $n>1$, entonces todos los de $n!+2, n!+3, \dots, n!+n$ son compuestos.

Answer 2

Si era racional, entonces el binario de expansión eventualmente repetir -, pero la distribución de los números primos no se repita.

A saber: si la repetición habían período de $n$ $p$ fue un primer suficientemente grande como para estar dentro de la parte que se repite, a continuación, $p+pn=(1+n)p$ tendría que ser un primo, que obviamente no es el caso. Por otro lado, la repetición período no puede consistir de todos los ceros, debido a que existen infinitos números primos.

Answer 3

Bien para demostrar que este número es irracional usted debe saber que un número racional tiene un periódico de la secuencia de dígitos en cualquier base después de un fijo de dígitos. Que es si $r=0.f_{1}f_{2}...f_{n}...$ $f(n+T)=f(n)$ algunos $T \in \mathbb{N}$$\forall n \geq k_{0} \in \mathbb{N}$. (comprobar que!).

A continuación, suponiendo por absurdo, vamos a $n_{0}$ ser un natural tal que $n_0\geq k_0$ $n_{0}$ es primo, a continuación, $1=f(n_{0})=f(n_{0}+T)=f(n_{0}+2T)=...=f(n_{0}+n_{0}T)=1$ absurdo, porque $n_{0}+n_{0}T$ no es primo.

Una pregunta interesante que surge es que el número Algebraico, es decir, que es solución de una ecuación polinomial con coeficientes racionales?