Si un espacio topológico metrizable está totalmente acotado con una métrica, ¿está totalmente acotado con todas las demás? Una pregunta relacionada y más fuerte: si cada metrización de un espacio topológico está acotada, ¿están todas totalmente acotadas?
Respuestas
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La respuesta a tu primera pregunta es "no". Los números reales son homeomorfos al intervalo abierto $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ a través de la biyección dada por $x\mapsto \arctan(x)$ . Ambos espacios tienen una topología metrizable. Pero $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ está totalmente acotado, mientras que $\mathbb{R}$ no lo es. De forma equivalente, dotar $\mathbb{R}$ con la métrica $d(a,b) = |\arctan(a)-\arctan(b)|$ esta métrica induce la misma topología en $\mathbb{R}$ como la métrica habitual, pero mientras que $\mathbb{R}$ está acotado bajo $d$ no está acotada bajo su métrica habitual.
La segunda pregunta fue respondida entre otras cosas en otro lugar .
DiGi
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Consideremos los enteros positivos con la topología discreta. Por un lado, esta topología está inducida por la métrica habitual, que ciertamente no está totalmente acotada. Por otro lado, también está inducida por la métrica $$d(n,m)=\left|\frac1n-\frac1m\right|\;,$$ que claramente es totalmente acotado.
Esto es realmente la observación de que $\left\{\dfrac1n:n\in\mathbb{Z}^+\right\}$ y $\mathbb{Z}^+$ son homeomórficos como subespacios de $\mathbb{R}$ con la topología euclidiana, a través de el mapa $n\mapsto\dfrac1n$ donde el primer subespacio tiene un cierre compacto en $\mathbb{R}$ .
jcoby
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Otros han señalado que la acotación total no es una propiedad topológica; lo que también cabe destacar es que es una propiedad uniforme. A espacio uniforme es un espacio que lleva alguna estructura adicional más allá de su topología que le permite dar sentido a nociones como continuidad uniforme, convergencia uniforme, acotación total, secuencias/redes/filtros de Cauchy, completitud, finalización...
Dejaré la definición precisa para el artículo enlazado (hay varias formulaciones equivalentes), pero la cuestión es que un espacio métrico (más generalmente, un espacio pseudométrico) lleva naturalmente la estructura de un espacio uniforme (es una especie de ejemplo motivador obvio - el otro ejemplo motivador son los grupos topológicos), y que la limitación total es una propiedad uniforme. (Vale la pena señalar que también lo es la completitud, y el teorema de que un espacio métrico es compacto si es completo y totalmente acotado funciona también para espacios uniformes más generales. También lo hacen muchos de los teoremas básicos de los espacios métricos, aunque desgraciadamente no todos).
(Por el contrario, la acotación ni siquiera es una propiedad uniforme, ya que todo espacio métrico, acotado o no, es uniformemente homeomorfo a un espacio métrico acotado).
