Existencia de raíces distintas de un polinomio complejo desplazado

Question

Pregunta: Que $f(x)\in \mathbb{C}[x]$ . ¿Existe siempre algún $\alpha \in \mathbb{C}$ tal que $g(x):=f(x)-\alpha$ tiene raíces distintas?

Mi intuición me lleva a creer que esto es cierto. Por poner un ejemplo sencillo, si $f(x)=x^n$ entonces podemos establecer $\alpha=1$ de modo que las raíces de $g(x)$ son los $n$ raíces de la unidad. Procediendo por contradicción, si hubiera alguna $f(x)$ tal que para todo $\alpha\in \mathbb{C}$ , $g(x)$ no tiene raíces diferenciadas, ¿qué falla? Tomando este camino, tal $g(x)$ serían inseparables, por lo que para cualquier $\alpha$ vemos que $g(x)$ siempre tendría una raíz común con su derivada. ¿Alguien puede encontrar una contradicción? ¿Existe una prueba directa sencilla? ¿Es incorrecta la afirmación y puede alguien proporcionar un contraejemplo?

Answer 1

Sí, tal $\alpha$ existe. Tenga en cuenta que si $w$ es una raíz doble del polinomio $g(z)=f(z)-\alpha$ entonces $g(z)=(z-w)^2q(z)$ y $g'(z)=(z-w) (2q(z)+(z-w)q'(z))$ lo que implica que $g'(w)=f'(w)=0$ . Por lo tanto, acaba de tomar $\alpha$ tal que $g(w)=f(w)-\alpha\not=0$ cuando $f'(w)=0$ es decir $$\alpha\in \mathbb{C}\setminus\{f(w) : f'(w)=0\}$$ (suponemos que el grado de $f$ es mayor que uno).

Answer 2

Supongamos que $f$ tiene raíces distintas $\lambda_k$ de multiplicidad $m_k$ . Sea $B_k$ sean bolas centradas en $\lambda_k$ cuyos radios son lo suficientemente pequeños como para que los cierres no no se crucen.

Además, podemos elegir los radios lo suficientemente pequeños como para que si $m>1$ entonces $f'$ tiene exactamente $m-1$ ceros en $B_k$ .

La continuidad de los ceros muestra que hay algún $K>0$ tal que si $|\alpha| < K$ entonces $p_\alpha(x)=f(x)-\alpha$ tendrá exactamente $m_k$ raíces en $B_k$ .

Supongamos que $\lambda_k$ es una de estas raíces con multiplicidad $m_k>1$ . Tenga en cuenta que $p_\alpha'=f'$ tiene exactamente $m_k-1$ raíces en $B_k$ y estos son $\lambda_k,...,\lambda_k$ ( $m-1$ veces).

Supongamos $\alpha$ es tal que $0 < |\alpha| < K$ y que $z_1,...,z_m$ sean las raíces de $p_\alpha$ en $B_k$ . Afirmo que el $z_i$ son distintos. Dado que $p_\alpha(\lambda_k) = f(\lambda_k) -\alpha \neq 0$ vemos que $z_i \neq \lambda_k$ y por lo tanto $p_\alpha'(z_i) \neq 0$ .

Por lo tanto, hay $K>0$ tal que para cualquier $\alpha$ satisfaciendo $0 < |\alpha| < K$ entonces $p_\alpha$ tiene exactamente $m_k$ raíces distintas en $B_k$ .

Al restringir aún más $K$ podemos repetir el proceso para cualquier otra raíz de multiplicidad mayor que uno hasta que encontremos una $K'>0$ tal que para cualquier $\alpha$ satisfaciendo $0 < |\alpha| < K'$ entonces $p_\alpha$ tiene raíces distintas.