Soluciones enteras para$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xyz}=1$

Question

¿Hay una solución hermosa para esta ecuación sobre los enteros?

PS

Answer 1

$$\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xyz}\color{red}{=1+1=2}$$

La reescritura de $1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$ y mutliplying ambos lados por $xyz$ (que se supone distinto de cero), obtenemos $$(x+1)(y+1)(z+1)=2xyz$$ Ahora, $x,y,z$ son todos los números enteros, así que esto le da un montón de condiciones. Por ejemplo, si tomamos $z=5$, tenemos $$(x+1)(y+1)6=10xy$$ o $$3(x+1)(y+1)=5xy$$ Por lo tanto, cualquiera de las $x$ o $y$ es un múltiplo de $3$. También, cualquiera de las $x+1$ o $y+1$ es un múltiplo de $5$. Supongamos que tenemos $x=3k, y+1=5m$, por lo que podemos reescribir como $$3(3k+1)5m=5(3k)(5m-1)$$ La cancelación, obtenemos $$(3k+1)m=k(5m-1)$$ Si $m=1$,, a continuación,$3k+1=4k$, lo $k=1$, lo que da $(x,y,z)=(3,4,5)$. Si $m=2$,, a continuación,$6k+2=9k$, lo $k=2/3$, lo que da $(x,y,z)=(2,9,5)$. Si $m=3$,, a continuación,$9k+3=14k$, lo $k=3/5$, que no da un número entero solución.

Etc, etc, podemos encontrar tantas soluciones como queremos, por ensayo y error.