Mostrando secuencia es Cauchy por definición

Question

Pregunta: tengo que mostrar que la secuencia de la $(x_n)$ definido por

$x_n=\frac{n+(-1)^n}{2n-1}$ , $n=1,2,3,...$.

Es de Cauchy secuencia utilizando solo la definición.

Mi intento: (puedo ver la secuencia es de Cauchy porque es convergente secuencia en la $\mathbb{R}$)Pero tengo que mostrar es de Cauchy mediante la definición de Cauchy de secuencia única. Así que he considerado

$|x_n-x_m|= |\frac{n+(-1)^n}{2n-1}-\frac{m+(-1)^m}{2m-1}|$

$=|\frac{(n+(-1)^n)(2m-1)-(m+(-1)^m)(2n-1)}{(2n-1)(2m+1)}|$

$=|\frac{m-n+(-1)^n 2m+(-1)^{m+1}2n+(-1)^{n+1}+(-1)^{m+2}}{(2n-1)(2m-1)}|$

pero soy incapaz de proseguir :-( por favor, ayúdame...

Answer 1

Supongamos que $m>n.$ $|x_m-x_n|=\left|\frac{m+(-1)^m}{2m-1}-\frac{n+(-1)^n}{2n-1}\right|\leq \left|\frac{m}{2m-1}-\frac{n}{2n-1}\right|+\frac{1}{2m-1}+\frac{1}{2n-1}=\frac{m-n}{(2m-1)(2n-1)}+\frac{1}{2m-1}+\frac{1}{2n-1}\leq \frac{3}{2n-1}<\epsilon$%

para suficientemente grande $m,n.$

Answer 2

Usando la lógica, el álgebra y la simple desigualdad reglas, uno puede mostrar que para $n \ge 3$, $x_n$ está entre los dos términos, $x_{n-1}$ e $x_{n-2}$. Así que si $N \ge 3$ e $m \ge N$, el número de $x_m$ se encuentra dentro del intervalo formado por $x_{N-1}$ e $x_{N-2}$. Pero entonces, por supuesto, la distancia entre $x_m$ y otro término $x_n$ con $n \ge N$ no puede ser mayor que la distancia entre el $x_{N-1}$ e $x_{N-2}$.

Si $N = 2k+1$, usando el mismo razonamiento, podemos saber que $x_{N-2} \lt x_{N-1}$. También

$\tag 1 x_{N-1} = \frac{2k + 1}{4k-1}$

y

$\tag 2 x_{N-2} = \frac{2k-2}{4k-3}$

Usando álgebra, podemos escribir

$\tag 3 x_{N-1} - x_{N-2} = \frac{8k-5}{(4k-1)(4k-3)} \; \text{ with } k \ge 1$

Haciendo $\text{(3)}$ arbitrariamente '$\varepsilon$ pequeño", la afirmación de que $x_n$ es una secuencia de Cauchy puede ser respaldada por el hallazgo de una $N$ , de modo que $|x_m - x_n| \le \varepsilon$ para $m,n \ge N$.

Si es de su preferencia, usted puede hacer '$\le \varepsilon$' en '$\lt \varepsilon$' en menos de dos maneras. Pero eso no cambia nada - las dos definiciones de una secuencia de Cauchy, uno con '$\le \varepsilon$' y el otro con '$\lt \varepsilon$', son equivalentes.

Answer 3

Al usar el trabajo que ya tiene, puede limitar su igualdad final permitiendo que los productos -1 sean 1, es decir, $|\frac{m-n+(-1)^n 2m+(-1)^{m+1}2n+(-1)^{n+1}+(-1)^{m+2}}{(2n-1)(2m-1)}|$ < $|\frac{m-n+2m+2n+1 + 1}{(2n-1)(2m-1)}|$ . Luego puedes expandir el denominador y tendrás una cancelación.