Es el aumento del factorial de función una función convexa?

Question

Deje $(x)_p=x(x+1)\dots(x+p-1)$ ser el aumento de función factorial.

Mi pregunta es: $(x)_p$ una función convexa o no? Y cómo se prueba?

Y lo que es acerca de la caída de la función factorial $(x)^p=x(x-1)\dots(x-p+1)$

Answer 1

Bueno, no en toda la recta real. $x\mapsto (x)_p$ es un polinomio de grado $p$ con las raíces $0,-1,\dots,-p+1$ y tiene valores positivos y negativos entre esto raíces. Por lo tanto, no es convexo allí.

Sin embargo, como ya se ha dicho por Robert Israel, es convexa para $x\geq 0$. Para ver esto, usted podría también argumentar que es el producto de convexo y no la disminución de las funciones.

Answer 2

$(x)_p$ es convexa para (al menos) $x > 0$, e $(x)^p$ es convexa para (al menos) $x > p-1$. Para demostrarlo, acaba de tomar la segunda derivada usando la regla del producto, y tenga en cuenta que todos los términos son positivos.