Resolver para $x$ : $ \big (x^3+ \frac {1}{x^3}+1 \big )^4=3 \big (x^4+ \frac {1}{x^4}+1 \big )^3$

Question

Resolver para $x$ $$ \big (x^3+ \frac {1}{x^3}+1 \big )^4=3 \big (x^4+ \frac {1}{x^4}+1 \big )^3$$

deja $x+ \frac {1}{x}=t$ la ecuación equivalente a $(t^3-3t+1)^4=3(t^4-4t^2+3)^3$ pero es muy complicado. Gracias.

Answer 1

Deje que $u=t^4-4t^2+3$ y $v=t^3-3t+1$ . Para terminar el problema (sobre los números reales), basta con probar que la ecuación $3u^3=v^4$ no tiene soluciones con $|t| \ge 2$ que no sea $t=2$ . Diferenciar la proporción $f(t)=3u^3 v^{-4}$ : $$ f'(t)= \frac {d}{dt}(3u^3v^{-4})= 3u^2v^{-5}(3u'v-4uv') \tag1 $$ El signo de $v$ es el mismo que el signo de $t$ cuando $|t| \ge 2$ . Queda por encontrar el signo de $3u'v-4uv'$ . El cálculo directo muestra $$3u'v-4uv' = 12(t^3-t^2-2t+3) \tag2 $$ que no es tan malo como uno podría haber esperado de restar dos polinomios de grado $6$ .

• Cuando $t \ge 2$ tenemos $t^3 \ge 2t^2$ por lo tanto (2) es positivo.
• Cuando $t \le -2$ tenemos $t^3 \le -2t^2$ por lo tanto (2) es negativo.

De cualquier manera, (1) es positivo cuando $|t|>2$ .

• Desde $f(2)=1$ se deduce que $f(t)>1$ para $ t >2$ .
• Desde $ \lim_ {t \to - \infty }f(t)=3$ se deduce que $f(t)>3$ para $ t <-2$ .

Así, la única raíz de $f(t)=1$ fuera de $(-2,2)$ es $t=2$ .