Tarea de "Inversión" (geometría con muchos círculos)

Question

Incircle $\omega$ % triángulo $ABC$con centro en el punto $I$toques $AB, BC, CA$ $C_{1}, A_{1}, B_{1}$ de puntos. Сircumcircle del triángulo $AB_{1}C_{1}$ cruza segundo tiempo circumcircle de punto $ABC$ $K$. % De punto $M$es punto medio de $BC$, punto medio de $L$ $B_{1}C_{1}$. Сircumcircle del triángulo $KA_{1}M$ cruza segundo tiempo $\omega$ en el punto $T$.

Demostrar, сircumcircles $KLT$ de triángulo y triángulo $LIM$ toque.

Answer 1

SUGERENCIA para un menor tour-de-force de enfoque (impresionante aunque MvG, o su software, puede ser)

La idea obvia es para invertir (como la cuestión de las pistas). La primera cosa a intentar es claramente el de la circunferencia inscrita. Denotar la inversa punto de $X$$X'$. Por lo que la línea de $B_1C_1$ se convierte en el círculo de $AB_1C_1$ y, por tanto,$L'=A$. Como $A'=L$, $K'$ se encuentra en la línea de $B_1C_1$ y el inverso de la circunferencia circunscrita, que es el de la circunferencia circunscrita de los tres puntos medios de los lados de $A_1B_1C_1$. $T$ se encuentra en la circunferencia inscrita, por lo $T'=T$.

Por lo tanto el inverso del círculo de $KLT$ es el círculo de $K'AT$ y el inverso del círculo de $LIM$ es la línea de $AM'$. Así que tenemos que mostrar que $AM'$ es tangente a la circunferencia $K'AT$.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad se puede elegir un coorinate sistema de tal manera que $\omega$ es el círculo unitario y $A_1=(1,0)$. A continuación, puede utilizar un racional parametrización del círculo para describir a $B_1$ $C_1$ en términos de dos parámetros $b,c\in\mathbb R$, para terminar con estas coordenadas:

\begin{align*} I &= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} y A_1 &= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ B_1 &= \frac1{b^{2} + 1}\begin{pmatrix} b^{2} - 1\\ 2 b \end{pmatrix} y C_1 &= \frac1{c^{2} + 1}\begin{pmatrix} c^{2} - 1\\ 2 c \end{pmatrix} \end{align*}

A partir de ahí, usted puede hacer una fuerza bruta coordinar la computación, produciendo estos puntos intermedios:

\begin{align*} A &= \frac1{b c + 1}\begin{pmatrix} b c - 1\\ b + c \end{pmatrix} \\ B &= \frac1{c}\begin{pmatrix} c\\ 1 \end{pmatrix} \\ C &= \frac1{b}\begin{pmatrix} b\\ 1 \end{pmatrix} \\ M &= \frac1{2 b, c}\begin{pmatrix} 2 b c\\ b + c \end{pmatrix} \\ L &= \frac1{b^{2} c^{2} + b^{2} + c^{2} + 1}\begin{pmatrix} b^{2} c^{2} - 1\\ b^{2} c + b c^{2} + b + c \end{pmatrix} \\ K &= \frac1{b^{2} c^{2} + b^{2} + 4 b c + c^{2} + 1}\begin{pmatrix} b^{2} c^{2} + b^{2} + 2 b c + c^{2} - 1\\ 2 b + 2 c \end{pmatrix} \\ T &= {\scriptsize\frac1{16 b^{4} c^{4} + 9 b^{4} c^{2} + 18 b^{3} c^{3} + 9 b^{2} c^{4} + b^{4} + 6 b^{3} c + 10 b^{2} c^{2} + 6 b c^{3} + c^{4} + b^{2} + 2 b c + c^{2}}}\cdot\\ &\fantasma={\scriptsize\begin{pmatrix} 16 b^{4} c^{4} + 7 b^{4} c^{2} + 14 b^{3} c^{3} + 7 b^{2} c^{4} + b^{4} + 2 b^{3} c + 2 b^{2} c^{2} + 2 b c^{3} + c^{4} - b^{2} - 2 b c - c^{2}\\ 8 b^{4} c^{3} + 8 b^{3} c^{4} + 2 b^{4} c + 14 b^{3} c^{2} + 14 b^{2} c^{3} + 2 b c^{4} + 2 b^{3} + 6 b^{2} c + 6 b c^{2} + 2 c^{3} \end{pmatrix}} \end{align*}

Me gustaría pegar las ecuaciones de los círculos, pero todavía tengo que encontrar la manera de darles formato, ya que son bastante grandes.

Los círculos $KLT$$LIM$, tiene una tangente común:

\begin{align*}{\scriptsize \bigl((b + c) \cdot (2 b^{4} c^{4} - 3 b^{4} c^{2} + 4 b^{3} c^{3} - 3 b^{2} c^{4} - b^{4} - 8 b^{2} c^{2} - c^{4} - b^{2} - 4 b c - c^{2})\bigr)x} \\ {\scriptsize+ \bigl(5 b^{5} c^{3} + 2 b^{4} c^{4} + 5 b^{3} c^{5} + b^{5} c + b^{4} c^{2} + 16 b^{3} c^{3} + b^{2} c^{4} + b c^{5} - b^{4} + 3 b^{3} c + 3 b c^{3} - c^{4} - b^{2} - 2 b c - c^{2}\bigr)y} \\ {\scriptsize= 2\cdot c \cdot b \cdot (b + c) \cdot (b c + 1)^{3}} \end{align*}