¿Hay funciones periódicas sin un período más pequeño?

Question

La página de Wikipedia para funciones periódicas indica que el período positivo más pequeño $P$ de una función se llama el período fundamental de la función (si existe). Yo estaba intrigado por la condición de que la función realmente tiene un período más pequeño, así que mi pregunta es, ¿qué propiedades de una función a ser periódico pero no tienen un período más pequeño haría?

Answer 1

Para un ejemplo no trivial, considere la función de Dirichlet, que tiene $$\delta(x) = \begin{cases}0 & \text {si $x$ es racional} \\1 & \text {si $x$ es irracional} \end {casos} $$

Entonces $\delta(x)$ es periódica con período $r$ para cada número racional $r$.

Answer 2

Sí, para ejemplo de función constante.

Answer 3

De hecho, una función continua de variable real tener períodos arbitrariamente pequeños es necesariamente una constante. De hecho, el conjunto de períodos es un subgrupo aditivo denso de la línea real, y la función es constantemente igual a su valor en cualquier momento.

Answer 4

Usted puede demostrar que si una función periódica es continua en al menos un punto, y no tiene un período mínimo, entonces es constante.

En otras palabras: para que una función tenga arbitrariamente pequeños períodos, debe ser constante o en todas partes discontinuo.

El razonamiento es simple: si $f$ no tiene la menor período, entonces la imagen de $f$ debe ser el mismo en cada intervalo abierto. Por lo tanto, no importa cuán pequeña es de $\varepsilon$, la oscilación de $f$ en $(a, a+\varepsilon) $ (definida como $\sup f - \inf f$ restringido a ese intervalo) va a ser el mismo que el mundial de oscilación. Puesto que la oscilación es constante, como $\varepsilon\to 0$, y sabemos que la oscilación debe converger a $0$ si queremos que $f$ a ser continua en $un$, llegaremos a la conclusión de que $f$ es continua de la nada (lo que permite que $f$ es constante en el caso de que esta constante global de oscilación es de $0$).

Es muy fácil de obtener "ejemplos" de la constante de funciones. Como MJD la respuesta, dice, un ejemplo de no-función constante con arbitrariamente pequeños períodos, es el indicador de la función de los racionales ($1$ en los racionales y $0$ en la irrationals). Como señaló Hagen von Eitzen en MJD del post, esta función no aceptar un menor período de tiempo, dado un número real $$ x es racional si y sólo si $x+r$ es también racional para cualquier racional $r$ (con lo que todo número racional es un período de esta función).