Si una función definida en un conjunto (Lebesgue) medible es continua casi en todas partes, ¿es esa función necesariamente (Lebesgue) medible?

Question

Aquí está mi intento de demostración: Supongamos que $E \subseteq \Bbb R$ es un conjunto medible de Lebesgue, y $f:E \rightarrow \Bbb R$ es continuo casi en todas partes en E. Sea $A$ el conjunto de todos los puntos en $E$ en los que $f$ es discontinuo, y sea $s \in \Bbb R$. Dado que $f^{-1}((s,\infty))=(f^{-1}((s,\infty))\cap A) \cup (f^{-1}((s,\infty)) \cap (E \setminus A))$, si podemos mostrar que cada elemento de la unión es medible, hemos terminado. $A$ tiene medida cero, por lo que en particular tiene medida exterior cero. Esto implica que $f^{-1}((s,\infty)) \cap A$ tiene medida exterior cero (por la monotonicidad de la medida exterior) y, por lo tanto, es medible. Para la segunda parte, la restricción de $f$ a $E \setminus A$ es continua y, por lo tanto, medible, por lo que $f^{-1}((s,\infty)) \cap (E \setminus A)$ es un conjunto medible. Entonces $f^{-1}((s,\infty))$ es una unión finita de conjuntos medibles, y por lo tanto es medible. ¿Es esto correcto? Agradezco cualquier comentario o crítica.

Answer 1

Esta demostración me parece correcta. La única parte en la que tuve que pensar para asegurarme fue que una función continua en cualquier conjunto mensurable es mensurable, pero esto es cierto porque la imagen inversa de un intervalo no acotado es abierto. Así que sí, me parece bien.