El teorema de Tychonoff para los productos de finito discretos topologías?

Question

Necesito la siguiente versión específica de el teorema de Tychonoff:

Supongamos $\{X_\alpha\}_\alpha$ es una colección finita de conjuntos dotado discreto topologías, a continuación, $\prod_\alpha X_\alpha$ es compacto.

Me pregunto si no hay ninguna prueba directa para esta versión específica, ya que es omnipresente en matemáticas (aparte de topología general), dicen que la teoría de la pro-grupos finitos donde infinito Galois teoría se basa. Muchos teorema de existencia se deduce de la compacidad.

Me pregunto si hay más directa de pruebas (pero el lema de Zorn es permitido) para este caso especial. No me gusta que la base de muchos de los teoremas de existencia (especialmente algunos existencia de un procedimiento específico de morfismos entre los campos de la extensión) en la caja negra de el teorema de Tychonoff.

Por ejemplo, supongamos $A$ es integralmente cerrado de dominio con el cociente de campo $F$, e $K/F$ es una extensión normal. Deje $B$ ser la integral de cierre de $A$ en $K$. Dado un primer ideal $P\subsetneq A$, queremos mostrar que $\operatorname{Gal}(K/F)$ actúa transitivamente en el primer ideales se encuentra por encima del $P$. Lo primero que se puede demostrar que para finito de extensión de la $K/F$, y deducir el caso general de este caso especial, por la compacidad de $\operatorname{Gal}(K/F)$, ver Serre del Local Álgebra, dicen. Sin embargo, quiero ver cómo este Galois elemento se construye sin atractivo para el teorema de Tychonoff.

Cualquier ayuda es bienvenida. Gracias!

Answer 1

Parece posiblemente interesante notar que la compacidad de un arbitrario producto finito de conjuntos da un "directo" prueba de la compacidad de un producto arbitrario de compacto de Hausdorff espacios (por lo tanto, independientemente de lo que queremos decir por "directa" en el OP, el resultado para finito de conjuntos no puede ser mucho más fácil que el teorema de Tychonoff a sí misma).

Dado que el conjunto de Cantor $K$ es una contables producto de $\{0,1\}$, la compacidad de $\prod X_\alpha$ para $X_\alpha=\{0,1\}$ implica que la compacidad del producto para $X_\alpha=K$. Ahora hay un mapa continuo de $K$ a $[0,1]$, con lo que obtenemos el resultado de $X_\alpha=[0,1]$. Y cualquier compacto de Hausdorff espacio puede ser embebido en un (grandes dimensiones) cubo, por lo tanto, si $X_\alpha$ es compacto Hausdorff, a continuación, $\prod X_\alpha$ es un subconjunto cerrado de un compacto Hausdorff espacio.