Respuesta lineal funciones de correlación

Question

Estoy trabajando mi camino a través de Métodos Moleculares de la Mecánica Cuántica por R. McWeeny y se han topado con una derivación que parece que no puede averiguar.

Así en el capítulo 12, se obtiene una expresión para el primer orden de los coeficientes de la perturbado función de onda con respecto a una perturbación $H'(t)=F(t)\mathbf{A}$. $\mathbf{A}$ es un hermitian operador y $F(t)$ es un tiempo dependiente del factor de intensidad y que el sistema se supone que se han iniciado en el estado $|0\rangle$ con la perturbación de ser débil, de modo que estos coeficientes varían lentamente.

$$c_n^{(1)}=(i\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^t\langle n|\mathbf{A}|0 \rangle F(t')\exp(i\omega_{n0}t')dt'$$

Estoy bien con esta expresión. Donde me confundo es cuando tratamos de utilizar esta expresión para determinar la respuesta de algún operador $\mathbf{B}$ a la perturbación descrito por $\mathbf{A}$. Él escribe que $$\langle \mathbf{B} \rangle-\langle \mathbf{B} \rangle_0=\delta\langle \mathbf{B} \rangle=$$

$$(i\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^t\sum_{n\neq0}\bigr[ \langle 0|\mathbf{B}|n \rangle \langle n|\mathbf{A}|0 \rangle \exp(-i\omega_{n0}(t-t'))-\langle 0|\mathbf{A}|n \rangle \langle n|\mathbf{B}|0 \rangle \exp(i\omega_{n0}(t-t'))\bigr]F(t')dt'$$

Me parece que no puede averiguar llega esa expresión. Mi pensamiento es expandir $$\langle \Psi'|\delta\mathbf{B}|\Psi' \rangle$$ donde $$|\Psi' \rangle=\sum_{n=0} c_n(t)e^{-i\omega_{n0}t}|n\rangle$$ Tengo la esperanza de que esto llevaría a términos como"$\langle0|\mathbf{B}|\Psi'\rangle$, pero me estoy poniendo de los términos adicionales que no puedo entender cómo quitar.

Answer 1

Intente volver a escribir $\delta\langle \mathbf{B} \rangle= \langle \mathbf{B} \rangle-\langle \mathbf{B} \rangle_0$ más explícitamente.

$$\begin{align} \langle \mathbf{B} \rangle-\langle \mathbf{B} \rangle_0 &= \text{Tr}[\mathbf{P}(t)\cdot \mathbf{B}] - \text{Tr}[\mathbf{P}(0)\cdot \mathbf{B}] \\ &= \langle 0 | \mathbf{P}(t) \mathbf{B} | 0 \rangle - \langle 0 | \mathbf{P}(0) \mathbf{B} | 0 \rangle \\ \end{align}$$

Recuerdo que a la primera orden, la matriz de densidad de $\mathbf{P}(t)$ puede ser escrito

$$\mathbf{P}(t) = |0\rangle\langle0| + |\Psi^{(1)}(t)\rangle\langle0| + |0\rangle \langle \Psi^{(1)}(t)| + \cdots $$

Usted puede conectar su expresión

$$|\Psi' \rangle = |\Psi^{(1)}(t)\rangle =\sum_{n=0} c^{(1)}_n(t)e^{-i\omega_{n0}t}|n\rangle$$

Esto debe darle a usted (el tratamiento de la $\mathbf{B}$ como Hermitian operador)

$$\delta\langle \mathbf{B} \rangle = \langle 0 | \mathbf{B}\sum_{n=0} c^{(1)}_n(t)e^{-i\omega_{n0}t}|n\rangle\langle0|0\rangle + \langle 0 | 0 \rangle \sum_{n=0} \langle n | c^{(1)*}_n(t)e^{+i\omega_{n0}t}\mathbf{B} |0\rangle $$

A partir de aquí es cuestión de enchufar su primera expresión

$$c_n^{(1)}=(i\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^t\langle n|\mathbf{A}|0 \rangle F(t')\exp(i\omega_{n0}t')dt'$$

Y de limpieza hasta llegar

$$(i\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^t\sum_{n\neq0}\bigr[ \langle 0|\mathbf{B}|n \rangle \langle n|\mathbf{A}|0 \rangle \exp(-i\omega_{n0}(t-t'))-\langle 0|\mathbf{A}|n \rangle \langle n|\mathbf{B}|0 \rangle \exp(i\omega_{n0}(t-t'))\bigr]F(t')dt'$$