De hecho, $f(B)$ puede ser cualquier subconjunto abierto de $\Bbb C$. (Edit: O más bien conectado conjunto abierto; gracias a Robert Israel para darse cuenta de que esto es a lo que me refería...)
Bonus: Si $V$ es abierto conectado subconjunto del plano existe $f$ con los no-desaparición de derivados que $f(B)=V$, y en el hecho de si $V\ne\Bbb C$ podemos tomar $f$ a una cubierta mapa.
Decir $V\subset\Bbb C$ es abierto y conectado. Supongamos primero que $\Bbb C\setminus V$ contiene más de un punto. Ahora el Uniformiization Teorema demuestra que no es un simple conectado superficie de Riemann $M$ y un holomorphic cubriendo mapa de $M$ a $V$. Y $M$ es la esfera de Riemann, el disco o el avión. Con la excepción de $M$ no puede ser la esfera de Riemann desde $V$ no es compacto, y el pequeño teorema de Picard muestra que $V$ no puede ser $\Bbb C$, lo $M$ es el disco.
Que hace a excepción de $V=\Bbb C\setminus \{0\}$ e $V=\Bbb C$. Hay una tira de $S$, de modo que $\exp(S)=\Bbb C\setminus\{0\}$ y un mapa de la disco a $S$. Y hay un mapa de la disco en la región de $\Re z>-1$; la plaza de este mapa, los mapas de $B$ a $\Bbb C$.
Estamos hecho, excepto para el bono parte, y ya casi hemos terminado con eso. Si $V\ne\Bbb C$ hemos dado un holomorphic cubriendo mapa de $B$ a $V$. Si $V=\Bbb C$ no hay tal cubrimiento mapa. Pero sí existe un holomorphic surjection con los no-desaparición de derivados:
Decir $f$ es la función completa con $f(0)=0$ e $f'(z)=e^{\cos(z)}$. A continuación,$f'(z+2\pi)-f'(z)=0$, de modo que existe $c$ con $f(z+2\pi)=f(z)+c$. Tenga en cuenta que $c=f(0)>0$; en particular,$c\ne0$.
Desde $f(z+2\pi)=f(z)+c$ con $c\ne0$ el Gran teorema de Picard muestra que $f$ toma cada valor complejo infinidad de veces. Por lo tanto $f(\Bbb C\setminus\{0\})=\Bbb C$. Como antes, se trata de una cubierta mapa de $g$ de $B$ a $\Bbb C\setminus\{0\}$; ahora $f\circ g$ es un mapa de $B$ a $\Bbb C$ con los no-desaparición de derivados.
