Demostrando que no existe $F(x), G(x)$ de tal manera que $1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+ \cdots +n^{-1}={F(n)}/{G(n)}$

Question

Sabemos que la siguiente suma es un polinomio de grado $N+1$ sobre $n$ donde $n, N \in\mathbb N$ : $$S_N(n)= \sum_ {k=1}^{n}k^N=1^N+2^N+3^N+ \cdots +n^N.$$

Entonces, me interesé en la siguiente pregunta:

¿Existen polinomios $F(x), G(x)$ de tal manera que $S_{-1}(n)= \frac {F(n)}{G(n)}$ para cualquier número natural $n$ ?

La respuesta debe ser $NO$ (¡de lo contrario deberíamos saberlo!), pero no sé cómo probarlo.

Entonces, esta es mi pregunta.

Pregunta : ¿Podría mostrarme cómo probar que no existen polinomios $F(x), G(x)$ de tal manera que $S_{-1}(n)= \frac {F(n)}{G(n)}$ para cualquier número natural $n$ ?

Answer 1

Utilizando las sumas $S_{-1}(n)$ como estimaciones del área bajo el gráfico de $1/x$ obtenemos las desigualdades $$ \int_1^n\frac1x\,dx<S_{-1}(n)<1+\int_1^n\frac1x\,dx. $$ Por lo tanto $$ \ln n<S_{-1}(n)<1+\ln n. $$ Esto nos da una contradicción, cuando $n\to\infty$ :

Si $\deg F>\deg G$ entonces $F(n)/(n G(n))$ estaría acotada lejos de cero para grandes $n$ pero $\ln n/n\to0$ como $n\to\infty$ por lo que las estimaciones anteriores muestran que $S_{-1}(n)/n\to0$ cuando $n\to\infty$ .

Por otra parte, si $\deg F\le \deg G$ entonces $F(n)/G(n)$ permanece acotada para grandes $n$ contradiciendo el hecho de que $\ln n$ y, por tanto $S_{-1}(n)$ no tiene límites.

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Editar: Ver Respuesta de Gerry Myerson a una pregunta anterior para obtener más información relacionada.