Comprobación de mi comprensión de $T^*M$ como una variedad simpléctica y los vínculos entre la descripción clásica de Lagrangianos vs esta manera invariante.

Question

Estoy trabajando en un libro titulado "introducción a la mecánica y la simetría" por Marsden y Ratiu. He escrito un breve resumen tratando de solidificar mi comprensión de los principios generales.

Two questions:

yo) Es mi entendimiento de que el sonido de las ideas? Me doy cuenta de que probablemente debería saber si puedo entender el material una vez que yo lo entiendo, pero creo que se necesita algo de tiempo para internalizar esta materia.

ii) ¿Cómo hace uno para demostrar que las corrientes del campo de vectores $X_L$ corresponde a la de Euler Lagrange las ecuaciones de $L$.

Notes:

$\newcommand{\rn}{\mathbb{R}} \newcommand{\fn}{\mathbb{F}} \newcommand{\a}{\rightarrow}$ Deje $T^*M$ ser la cotangente del paquete de $M$. El Liouville 1 formulario a- $\Theta$ $T^*M$ se define como sigue. Deje $(x, \omega) \in T^*M_x$ y, a continuación, deje $W$$TT^*M_{(x, \omega)}$. A continuación, $\Theta_{(x, \omega)} (W) = \omega(d \pi^* (W))$ donde $\pi^* : T^*M \into M$ es la proyección del mapa. Con esto, podemos definir una 2-forma $\Omega$ $T^*M$ tomando el exterior derivados, $\Omega = -d\Theta$.

Para una función de $H : T^*M \into \rn$, el campo de vectores Hamiltoniano $X_H$ en la cotangente del paquete es el campo de vectores que satisface la propiedad de que $dH = \iota_{X_H} \Omega$. Fluye bajo este campo de vectores representan las soluciones a las clásicas ecuaciones de Hamilton en virtud de una adecuada función Hamiltoniana $H$.

Para cambiar entre el formalismo de Hamilton y el formalismo de Lagrange, utilizamos la transformación de Legendre. Dado un mapa de $L : TM \into \rn$, definir $\fn L : TM \into T^*M$$\fn L(v)(w) = \frac{d}{ds}\big|_{s=0} L(v + sw)$. Disponemos de los correspondientes formularios en $TM$ $\Theta_L = (\fn L)^* \Theta$ y $\Omega_L = (\fn L)^* \Omega$. $\Theta_L$ se llama el Lagrangiano 1-forma y $\Omega_L$ el de Lagrange 2-forma.

A continuación, vamos a $X_L$ ser un campo de vectores en $TM$ tal que $\iota_X \Omega_L = dE$ cuando la energía $E$ está definido por $E(x,v) = \mathbb{F}L(v)\dot(v) - L(x,v) = \Theta_L(X)(v) - L(v)$

A continuación, la curva integral (creo) de $X_L$ son soluciones a la de Euler ecuaciones de Lagrange. Supongamos una curva de $v(t) \in TM$ satisface $v^{(1)}(t) = X(x, v)$. Entonces no $v^i(t) = x^{i(1)}(t)$$L_x(x, v) - \frac{d}{dt} L_v (x, v) = 0$?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Empezar con un colector $M$. Una función de Lagrange es sólo un elemento $L\in C^\infty(T M)$. Llame a la par $(M,L)$ un Lagrangiano del sistema. Un movimiento en el Lagrangiano del sistema es sólo una curva de $\gamma:\mathbb{R}\to M$ cuyo ascensor, $(\gamma(t),\gamma^\prime(t))\in T_{\gamma(t)}M$, cumple con los Euler-Lagrange las ecuaciones.

Un Hamiltoniano del sistema es un triple $(X,\omega, H)$ donde $(X,\omega)$ es un simpléctica colector y $H\in C^\infty(X)$ se llama a la función Hamiltoniana. Las curvas integrales de $X_H$, el campo de vectores Hamiltoniano, se caracterizan por la solución de las ecuaciones de Hamilton. Tenga en cuenta que siempre puedes activar $T^\ast M$ en un simpléctica colector en la forma que se describe anteriormente.

Dado el Lagrangiano del sistema como el anterior, obtenemos los asociados de Legendre transformar $\Phi_L: T M\to T^\ast M$. Bajo ciertas condiciones en $L$, obtenemos que $\Phi_L$ es un diffemorphism. La transformación de Legendre relaciona las dos formulaciones a través de la siguiente teorema:

Una curva de $\gamma:\mathbb{R}\to M$ es un movimiento en $(M,L)$ (es decir, satisface la de Euler-Lagrange las ecuaciones) si y sólo si $\Phi_L(\gamma(t),\gamma^\prime(t))$ es una curva integral de $X_H$ (es decir, satisface las ecuaciones de Hamilton)

Aquí $H=L\circ \Phi_L^{-1}$. Que es lo que estamos considerando es el Lagrangiano del sistema de $(M,L)$ y el Hamiltoniano del sistema de $(T^\ast M,\omega, H=L\circ\Phi_L^{-1})$$H\in C^\infty (T^\ast M)$$X_H\in \Gamma(T(T^\ast M))$.

Answer 2

Simplemente porque usted tire hacia atrás de la ecuación de $\omega(X,\cdot) = dH$ a una ecuación en $T^*(TM)$ el uso de la transformación de Legendre. De hecho denotar $\phi_L: TM \rightarrow T^*M$ la transformación de Legendre y denotan el Hamiltoniano como $H(p) = p(\phi_L^{-1}(p)) - L(\phi^{-1}_L(p))$ (esto es cómo se define un Hamiltoniano de la Lagrangiana en la configuración clásica). Entonces, si usted definir la cantidad de "energía", como se definió anteriormente que es $E(v)= (\phi_L(v))(v) - L(v)$ es fácil ver que $E(v) = H(\phi_L(v))$

Aplicando ahora la tire a la ecuación se obtiene:

$$\phi^*_L (\omega(X_H,\cdot) = d(\phi_L^*H)$$

$$ (\phi^*_L\omega)(D\phi^{-1}_L X_H, \cdot) = dE$$

$$ \Omega_L(X_L,\cdot) = dE$$

Sólo una observación sobre cómo usted también puede pasar a la Lagrangiana de la mecánica de Hamilton en una "forma natural". Como te han comentado puedes construir canónica de la 1-forma en $T^*M$ $\Theta_{x,p}(W) = p\circ d\pi^*(W)$. Ahora si $\pi_*: TM \rightarrow M$ es la proyección canónica, dada una de Lagrange se puede definir una 1-forma en $TM$ con casi el mismo procedimiento de la siguiente manera: $(\Omega_L)_{x,v}(U) = \phi_L(v) ( d\pi^*(U))$$U$$T(TM)$. Si desea que el diferencial de este 1-formulario para ser simpléctica, usted necesita la no-degeneración condición de $det(\frac{\partial^2L}{\partial v_i \partial v_j}) \neq 0$. Esta es la misma forma simpléctica $\Omega_L$ por encima. Usted sólo tiene que utilizar un isomorfismo entre el $TM$ $T^*M$ para el transporte de la estructura simpléctica en $T^*M$$TM$. De hecho, en los casos en que $L(v) = g(v,v) - V(\pi_*(v))$ , entonces el Lagrangiano de transformación es simplemente el isomorfismo entre el $TM$ $T^*M$ dado por la métrica (el musical isomorfismo).