La simplificación de una suma - atrapados tras el cambio de la suma del índice de

Question

Estoy de seguimiento a través de la solución de una pregunta que yo estaba trabajando. No entiendo muy bien cómo llegaron a la línea que he marcado con una flecha (disculpas por el uso de una imagen, no me queda mucho tiempo y no quiero tener que buscar cómo hacer notación sigma en Látex aquí)

Texto de la imagen:

La suma es $$\begin{align*} &7\sum_{k=2}^n \frac1{k-1}-3\sum_{k=2}^n\frac1k-4\sum_{k=2}^n\frac1{k+1}\\ =&7\sum_{k=1}^{n-1} \frac1k-3\sum_{k=2}^n\frac1k-4\sum_{k=3}^{n+1}\frac1k\\ \color{red}{\longrightarrow}\overset{?}=&7\left(1+\frac12\right)-3\left(\frac12+\frac1n\right)-4\left(\frac1n+\frac1{n+1}\right)\\ &=9-\frac7n-\frac4{n+1} \end{align*}$$

Así que entiendo cómo consiguió la segunda línea, que es simplemente tomar los coeficientes y mediante el cambio de la suma del índice de la regla.

Lo que no entiendo es la línea marcada con la flecha roja.
Puedo ver que $1$ proviene de $1/1$ al $k=1$ e $1/2$ probablemente viene de $k=2$, pero la suma es de $k=1$ a $k=n-1$

¿Cómo sabemos que el uso de $k=2$ y para parar en el $k=2$ para el primer término?

Answer 1

$$7\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=7\left(1+\frac{1}{2}\right)+7\sum_{k=3}^{n-1}\frac{1}{k}$$ $$3\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k}=3\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right)+3\sum_{k=3}^{n-1}\frac{1}{k}$$ $$4\sum_{k=3}^{n+1}\frac{1}{k}=4\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)+4\sum_{k=3}^{n-1}\frac{1}{k}$$ ¿Ves cómo obtener la línea marcada ahora?

Answer 2

Usted debe usar ese $7=4+3$. Si se mira con detenimiento, se puede ver que la línea que precede a su línea con signos de interrogación debería leer algo como $$7\sum_{k=3}^{n-1} \frac{1}{k} -3\sum_{k=3}^{n-1} \frac{1}{k} - 4 \sum_{k=3}^{n-1} \frac{1}{k} + 7(1+1/2) - 3(1/2+1/n) -4(1/n+1/(n+1)) = $$ $$ = 0 + 7(1+1/2) - 3(1/2+1/n) -4(1/n+1/(n+1)) .$$