Cuando es un subespacio de $V^*$ denso, donde $V$ es un espacio de Banach?

Question

Deje $V$ ser un espacio de Banach. Supongamos $\alpha_i$ es una colección de limitada lineal funcionales $V\to \mathbb{C}$ tal forma que:

$$ \bigcap_i \ker(\alpha_i) = 0. $$

¿Esto implica la $\alpha_i$ abarcan un subconjunto denso de la doble $V'$?

Estoy motivado por el siguiente caso especial: $V = C([0, 1])$, el espacio de todas continua $[0, 1] \to \mathbb{C}$. Ahora para $x\in [0, 1]$, la "evaluación de la función" $e_x : V \to \mathbb{C}$ simplemente se lleva a $v \mapsto v(x)$. Me gustaría demostrar que el conjunto de las funciones de evaluación abarca un subconjunto denso de $V'$ (la forma habitual es el uso de Riesz teorema de representación para describir a $V'$ como el espacio de las medidas complejas $[0, 1]$, pero estoy tratando de no uso de eso). Tenga en cuenta que en nuestro caso, es evidente que se tienen $\bigcap_i \ker \alpha_i = 0$.

Answer 1

No en general: Tome $V = \ell^1$, y para cada una de las $i\in \mathbb{N}$, vamos a $\alpha_i$ denotar la "evaluación" del mapa $$ \alpha_i ((x_n)) := x_i $$ Entonces claramente $$ \bigcap_i \ker(\alpha_i) = 0 $$ Sin embargo, consideran que el espacio dual de emparejamiento $$ \ell^{\infty} \a (\ell^1)^{\ast} $$ a continuación, el $\alpha_i$ corresponden a los elementos de $$ e_i = (0,0,0, \ldots, 0, 1,0,\ldots) \in \ell^{\infty} $$ En particular, $$ \text{span}(\alpha_i) \subconjunto c_0 \neq \ell^{\infty} $$ Sin embargo, lo que dices es cierto si $V$ es reflexiva : Desde $$ \bigcap_i \ker(\alpha_i) = 0 $$ de ello se deduce a partir de la reflexividad que para cualquier $T \in V^{\ast\ast}$, $$ T(\alpha_i) = 0\quad\forall i \Rightarrow T \equiv 0 $$ Ahora es una consecuencia de Hahn-Banach que esto implica $$ \overline{\text{span}(\alpha_i)} = V^{\ast} $$ (otra cosa que usted podría construir un cero no lineal funcional en $V^{\ast}$ que aniquila a toda la $\alpha_i$)

Answer 2

Esto no es verdad en el caso de que usted está interesado en. Por ejemplo, considere el funcional $I:C([0,1])\to\mathbb{C}$ dado por $I(f)=\int f d\mu$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue. Es fácil ver que cualquier combinación lineal finita de evaluación funcionales ha distancia $\geq 1$ de $I$ (debido a que usted puede encontrar un elemento de $C([0,1])$ norma $1$ que se desvanece en un número finito de puntos que estamos evaluando, pero sin embargo ha integral de la $1-\epsilon$).