Supongamos $f$ no es una constante de toda la función. Definir $$ d_f(a,b) = \inf_{\gamma} \ell(f\circ \gamma), $$ donde $a,b \in \mathbb{C}$, $\ell$ es la longitud euclidiana, y $\gamma$ es un camino que conecta $a$ e $b$. Estoy tratando de demostrar $d_f$ es una métrica. Estoy teniendo problemas para mostrar que $$ a\ne b \, \Longrightarrow \, d_f(a,b) \ne 0 .$$ Ahora si $f(a)\ne f(b)$, esto es claro. Si, sin embargo, $f(a)=f(b)$, no es posible que hay caminos, $\gamma_n$, conectando a $a$ e $b$, de tal manera que $\ell(f\circ \gamma_n)$ approches $0$ ?
Respuesta
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Deje $a \neq b$ tal que $f(a) = f(b)$. Supongamos que podemos encontrar una secuencia de caminos $\{\gamma_n\}$, con todos los extremos de $a$ e $b$, de tal manera que
$$ \ell(f\circ \gamma_n) \a 0 $$
como $n \to \infty$. Entonces debe ser cierto que todos los puntos en los caminos $f \circ \gamma_n$ enfoques $f(a)$, y por tanto, cada punto en $\gamma_n$ debe acercarse a un cero de $f(z) - f(a)$. Pero $f(z) - f(a)$ es todo, por lo que sus ceros son aislados. Desde $a \in \gamma_n$ para todos los $n$, debemos tener $\gamma_n \to a$ (todos los puntos de $\gamma_n$ debe converger a $a$). Pero debemos igualmente a la conclusión de que $\gamma_n \to b$. Desde $a \neq b$, llegamos a una contradicción.
