Tengo una ecuación: $xy'+ay=f(x)$, donde a es constante positiva y $f(x)\rightarrow b<\infty$ como $x \rightarrow 0$. He encontrado la solución: $y=\frac{C}{|x|^a}+\frac{b}{a}-\frac{1}{|x|^a}\int\limits_0^x f'(t)\frac{t^a}{a}dt$. Y tengo que demostrar que no es sólo una finito de soluciones como $x \rightarrow 0$. Para hacer lo que tengo que mostrar que $\frac{1}{|x|^a}\int\limits_0^x f'(t)\frac{t^a}{a}dt \rightarrow 0$ como $x \rightarrow 0$. Pero no sé cómo hacerlo. Alguien me puede ayudar?
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Delta-u
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El uso de una integración por partes se obtiene: $$\frac{1}{|x|^a}\int\limits_0^x f'(t)\frac{t^a}{a}dt=\frac{1}{|x|^a}\left((f(x)-b)\frac{x^a}{a}-(f(0)-b)\frac{0^a}{a} \right)-\frac{1}{|x|^a}\int\limits_0^x \left(f(t)-f(b) \right)t^{a-1}dt$$ por lo que es equivalente a demostrar que $\frac{1}{|x|^a}\int\limits_0^x \left(f(t)-f(b) \right)t^{a-1}dt \to 0$. Y: $$\left| \frac{1}{|x|^a}\int\limits_0^x \left(f(t)-b \right)t^{a-1}dt\right| \leq \frac{1}{|x|^a} \sup_{t \in [0,x]} \left|f(t)-b \right| \int\limits_0^x t^{a-1}dt = \sup_{t \in [0,x]} \left|f(t)-b \right|$$ que va a $0$ como $x \to0$.
A raíz de los comentarios, aquí hay más detalles acerca de la integración por partes.
Vamos $$u(t)=f(t)-b$$ and $$v(t)=\frac{t^a}{a}$$.
A continuación, $u'(t)=f(t)$así: $$\int\limits_0^x f'(t)\frac{t^a}{a}dt=\int_0^x u'(t) v(t) dt = u(x)v(x)-u(0) v(0)-\int_0^x u(t) v'(t)dt$$ y como $u(0)v(0)0$, $u(x)v(x)=(f(x)-b) \frac{x^a}{a}$ e $v'(t)=t^{a-1}$ obtenemos: $$\int\limits_0^x f'(t)\frac{t^a}{a}dt=\left((f(x)-b)\frac{x^a}{a}\right)-0-\int\limits_0^x \left(f(t)-f(b) \right)t^{a-1}dt$$
