¿Contraejemplo de suma infinita de expectativas = suma de infinitas expectativas?

Question

Busco el contraejemplo a la afirmación $\sum E[X_n] = E[\sum X_n]$ dado que $\sum E[X_n]$ y $\sum X_n$ existe. Esto también sería un contraejemplo al teorema de convergencia dominada sin uno de sus supuestos con la medida de probabilidad; pude crear un contraejemplo usando la integral de Lebesgue, pero el dominio es todo el real así que desafortunadamente falla.

Answer 1

¿Es esto lo que tenía en mente?

Tomemos la medida de Lebesgue en $[0,1]$ . Para cada número entero positivo $n$ , dejemos que $X_n = 2^n$ en un intervalo de medida $2^{-1-n}$ , $-2^{n}$ en un intervalo de medida $2^{-1-n}$ , $0$ en todas las demás partes, donde todos estos intervalos son disjuntos por pares (obsérvese que la suma de las medidas de los intervalos es intervalos es $1$ ). La suma puntual $\sum_n X_n$ existe (y es finito) en todas partes (de hecho para cualquier $x$ hay como máximo un $n$ para lo cual $X_n(x) \ne 0$ ). También cada $\mathbb E X_n = 0$ Así que $\sum_n \mathbb E X_n = 0$ . Pero $\mathbb E \sum_n X_n$ no existe porque $\sum_n X_n$ no está en $L^1$ : $\mathbb E \left|\sum_n X_n\right| = \infty$ .