¿Es posible escribir $0.3333(3)=\frac{1}{3}$ como la suma de $\frac{1}{4} + \cdots + \cdots\frac{1}{512} + \cdots$ de manera que el denominador sea una potencia de $2$ y siempre sea diferente? Hasta donde puedo demostrar, debería ser una serie infinita, pero puedo estar equivocado. En caso de que no se pueda escribir solo usando sumas, también se permiten restas.
Por ejemplo, $\frac{1}{2}$ es $\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$ Entonces, ¿qué pasa con $\frac{1}{3}$?
No hay manera de escribirlo como una suma finita. Porque si llevas esa suma a un denominador común, ese denominador será una potencia de $2$. Los signos negativos no ayudarán.
Se puede expresar como la "suma" infinita $$\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots.$$
Nótese que si $|r|\lt 1$ la serie geométrica $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$ tiene suma $\frac{a}{1-r}$. Pon $a=\frac{1}{4}$ y $r=\frac{1}{4}$, y simplifica.
Otra representación interesante de $\frac{1}{3}$ es $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots$.
Arquímedes demostró que si tienes una suma finita en la que cada término es $1/4$ del término anterior, excepto que el último término es $1/3$ del término anterior, entonces la suma no depende del número de términos, sino que es simplemente $4/3$ del primer término. En términos modernos: $$ 1+\frac 1 4 + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{4^n} + \frac{1}{4^n}\cdot\frac 1 3\ =\ \frac 4 3. $$ Él dedujo de eso que la suma infinita $$ 1 + \frac 1 4 + \frac{1}{16} + \cdots = \frac 4 3. $$
(Si el primer término es $1/4$ entonces $4/3$ de eso es por supuesto $1/3$.)
De forma más general, podemos hacer esto para cualquier fracción $\frac{m}{n}$. Sabemos que la suma de la serie geométrica infinita $$ S=a+ar+ar^2+ar^3+\dots=\frac{a}{1-r} $$ si $ |r| < 1 $. Entonces podríamos tomar $r=-\frac{1}{n-1}$ y $a=\frac{m}{n-1}$ dando
$$ S=\frac{\frac{m}{n-1}}{1+\frac{1}{n-1}}=\frac{\frac{m}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}=\frac{m}{n} $$
De hecho, podemos ser muy generales tanto con $r$ como con $a$. Solo supongamos que $r=\frac{s}{t}$ (con $|s|>|t|$ para asegurar que $|r|<1$), y dejemos $a=1$ por ahora entonces
$$ S=\frac{1}{1-\frac{s}{t}}=\frac{t}{t-s} $$
Entonces si en su lugar tomamos $a=\frac{m(t-s)}{nt}$ nuevamente tenemos que $S=\frac{m}{n}$.
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