La notación $\prod_{g\in G} g$ para un grupo finito no bien definido.

Question

Quiero resolver el siguiente ejercicio.

Deje $G$ ser un grupo finito, con exactamente un elemento $f$ orden $2$. Demostrar que $\prod_{g\in G} g = f$.

Tengo una pregunta acerca de la notación, la expresión $\prod_{g\in G} g$ representa el producto a través de todos los elementos de a $G$? Pero es que no está bien definido para que no abelian grupo, hacen que el orden en el que este producto es evaluado asuntos? O de qué otra cosa puede $\prod_{g\in G} g$ stand?

EDITAR: Me he tomado el ejercicio de un libro de álgebra, y yo miraba la portada de la web del autor, y una fe de erratas. Y, de hecho, el ejercicio está mal indicado! El grupo debe ser asumida como abelian.

http://www.math.fsu.edu/~aluffi/algebraerrata/Errata.html

Answer 1

Uno puede interpretar la declaración diciendo que el producto de todos los elementos en cualquier orden da el único elemento de orden $2$. Pero esto no funciona para el Grupo cuaterniónque tiene $-1$ como único elemento de orden $2$, mientras que el % de producto $1ijk(-1)(-i)(-j)(-k)$es igual a $1$, no $-1$.

Answer 2

La declaración es incorrecta, no bien definidos, y de hecho uno debe asumir que $G$ es abeliano. Entonces la prueba es fácil mediante la relación de equivalencia $x \sim y \Leftrightarrow x=y \vee x=y^{-1}$.

Answer 3

De hecho, el grupo debe ser conmutativa para ello sostener. Sería agradable para alguien publicar un contraejemplo mínimo. (Añadido: no importa: respuesta de Marc van Leeuwen y los comentarios debajo de él hacerse cargo de esto.)

Debido a una petición de un colega, un poco tiempo atrás que tuve la ocasión de escribir una prueba extremadamente elemental de este hecho. Ver aquí.

Answer 4

Además de todas las respuestas, también hay una muy cuidada respuesta a la pregunta ¿Cuál es el conjunto de todos los diferentes productos de todos los elementos de un grupo finito $G$? Por lo $G$ no necesariamente abelian. Así, si un 2-subgrupo de Sylow de $G$ es trivial o no cíclico, luego de este conjunto es igual a la del conmutador subgrupo $G'$. Si un 2-subgrupo de Sylow de $G$ es cíclico, entonces este juego es el coset $xG'$ del colector subgrupo, con $x$ el único involución de un 2-subgrupo de Sylow. Véase también J. Dénes y P. Hermann, `En el producto de todos los elementos en un grupo finito', Ann. La Matemática Discreta. 15 (1982) 105-109. El teorema se conecta a la teoría de los Cuadrados latinos y los llamados mapas completos.

Answer 5

He tomado el ejercicio de un libro de álgebra, y sólo busqué la página del autor y encontrar una fe de erratas. Y de hecho, el ejercicio es incorrecto! El grupo debe ser asumido para ser abelian.

http://www.Math.FSU.edu/~aluffi/algebraerrata/errata.html