Rellenar una tabla de grupo con $4$ elementos

Question

Hay exactamente un grupo $G$ de cuatro elementos, digamos $G = \{e, a, b, c\}$ satisfaciendo la propiedad adicional que $xx = e$ por cada $x \in G$ . Completa la siguiente tabla de grupos de $G$ .

$$ \begin{array}{c|lcr} & e & a & b & c\\ \hline e & e & a & b & c\\ a & a & & \\ b & b & & \\ c & c & & \end{array}$$

Cada $x$ en $G$ satisface $xx = e,$ así que $aa = e, bb = e, cc = e.$

primera fila: $ab \neq a$ porque se da que $b \neq e.$ También, $ab \neq b$ desde $a \neq e.$ Así que, $ab = c.$ Así, $ac = b.$

segunda fila: $ba \neq a$ desde $b \neq e.$ Así que, $ba = c.$ Entonces, $bc = a.$

tercera fila: $ca \neq a$ desde $c \neq e.$ Así que, $ca = b$ y $cb = a.$

Así que, $$ \begin{array}{c|lcr} & e & a & b & c\\ \hline e & e & a & b & c\\ a & a & e & c & b\\ b & b & c & e & a\\ c & c & b & a & e \end{array}$$

Por favor, compruebe mi trabajo.

Answer 1

"Afortunadamente" hay sólo dos opciones para un grupo finito de orden $4$ .

Uno es $(\mathbb{Z}_4,+)$ que no es unipotente.

La segunda opción, $(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,+)$ o Klein de cuatro grupos es efectivamente unipotente y, si se comprueba esta mesa Cayley de ella, tendrá su solución confirmada sin necesidad siquiera de reetiquetar los elementos.