No hay ningún mapa continuo de $D^2\to S^1$ tal que...

Question

La proposición: no Hay ningún mapa continuo de la unidad de disco $D^2$ a su límite de $S^1$ cuya restricción a $S^1$ es la identidad en $S^1$.

Mi prueba: Supongamos que hay un $f$. Deje $g: S^1\to S^1$ ser un mapa continuo. A continuación, $g\circ f: D^2 \to S^1$ es una extensión de $g$ a $D^2$. Por lo tanto $\pi_1(S^1)=0$. Contradicción.

La simplicidad de mi solución me hace sospechoso. Es todo correcto?

Answer 1

De hecho, no hay retracción $r: D^2 \rightarrow S^1$. Por si no lo fue, la inducida por homomorphism fundamentales de los grupos de la inclusión del mapa de $j: S^1 \rightarrow D^2$ sería inyectiva. Pero desde el grupo fundamental de la $D^2$ es trivial, mientras que el grupo fundamental de la $S^1$ no, esto se contradice con la inducida por homomorphism de la inclusión de mapas de ser inyectiva. Por lo tanto, no hay retracción $r$ existe.