Factoriales y sus cuadrados perfectos

Question

¿Cuántos factoriales positivos son también cuadrados perfectos. Así que por ejemplo $1!=1=1^2$ . ¿Cuántos otros existen además de 1?

¿Hay alguna manera de probar esto?

Answer 1

Una pista:

El postulado de Bertrand (en realidad un teorema) afirma que para cada primo $p$ existe otro número primo entre $p$ y $2p$ . Esto significa que $\forall n>1, n!$ siempre tendrá una única potencia de algún(os) número(s) primo(s).

Para cualquier número entero positivo $n\ge 2$ existe un primo $p$ tal que $\frac{n}{2}<p\le n$ Esto implica que $p\mid n!$ . Para $n\ge 5, p^2>n$ . Así que si $n!$ tiene una única factorización prima $p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r} $ entonces el exponente de $p$ debe ser $1$ . Como los cuadrados perfectos deben tener exponentes pares en sus factorizaciones primarias, sabemos que $n!$ no puede ser un cuadrado perfecto para $n \ge 5$ .