Prueba $ \forall x >0, \quad \sqrt{x +2} - \sqrt{x +1} \neq \sqrt{x +1}-\sqrt{x}$

Question

Me gustaría probar $$ \forall x >0, \quad \sqrt{x +2} - \sqrt{x +1} \neq \sqrt{x +1}-\sqrt{x}$$

• Estoy interesado en más formas de probarlo

Mis pensamientos :

\begin {align} \sqrt {x+2}- \sqrt {x+1} \neq \sqrt {x+1}- \sqrt {x} \\ \frac {x+2-x-1}{ \sqrt {x+2}+ \sqrt {x+1}}& \neq \frac {x+1-x}{{} \sqrt {x +1}+ \sqrt {x}} \\ \frac {1}{ \sqrt {x+2}+ \sqrt {x+1}}& \neq \frac {1}{ \sqrt {x +1}+ \sqrt {x}} \\ \sqrt {x +1}+ \sqrt {x} & \neq \sqrt {x+2}+ \sqrt {x+1} \\ \sqrt {x} & \neq \sqrt {x+2} \\ \end {align}

• ¿Es correcta mi prueba?
• Me interesan más formas de probarlo.

Answer 1

Tu prueba es correcta, pero creo que se podría demostrar por contradicción.

Supongamos para la contradicción $\exists x>0$ tal que la ecuación $\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ es cierto. Entonces, \begin {align} \sqrt {x+2}- \sqrt {x+1}&= \sqrt {x+1}- \sqrt {x} \\ \frac {x+2-x-1}{ \sqrt {x+2}+ \sqrt {x+1}}&= \frac {x+1-x}{{} \sqrt {x +1}+ \sqrt {x}} \\ \frac {1}{ \sqrt {x+2}+ \sqrt {x+1}}&= \frac {1}{ \sqrt {x +1}+ \sqrt {x}} \\ \sqrt {x +1}+ \sqrt {x} &= \sqrt {x+2}+ \sqrt {x+1} \\ \sqrt {x} &= \sqrt {x+2} \\ x&=x+2 \end {align} Esto no es cierto y hemos llegado a una contradicción. Por tanto, la ecuación no se cumple.

Answer 2

Tu prueba es correcta, porque cada desigualdad que escribes es equivalente a la anterior (hay que notarlo, probablemente).

Cambiar todo $\ne$ en $=$ lo convertiría en una prueba por contradicción, que sin embargo es innecesaria.

De otra manera, podrías simplemente intercambiar términos y elevar al cuadrado, cambiando de nuevo las desigualdades en otras equivalentes: \begin {reunir} \sqrt {x+2}+ \sqrt {x} \ne 2 \sqrt {x+1} \\ [10px] x+2+x+2 \sqrt {x(x+2)} \ne 4x+4 \\ [10px] \sqrt {x(x+2)} \ne x+1 \\ [10px] x^2+2x \ne x^2+2x+1 \\ [10px] 0 \ne1 \end {reunir}

Answer 3

Pista nº 1 :
Supongamos que $\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$ para algunos $x > 0$ .

Pista #2 :
Derivar una contradicción.

Pista nº 3 :
Esta prueba (por contradicción) resulta de algunos cambios en la notación que usaste en tu prueba.

Answer 4

Por el MVT:

$$\sqrt {x+2} - \sqrt {x+1} = \frac{1}{2\sqrt {c_x}}\cdot 1, \ \ \ \ \sqrt {x+1} - \sqrt {x} = \frac{1}{2\sqrt {d_x}}\cdot 1.$$

Aquí $c_x\in (x+1,x+2), d_x\in (x,x+1).$ Porque $1/\sqrt x$ disminuye estrictamente, el término de la izquierda menos el de la derecha es negativo.

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Concavidad: Las pendientes de las sucesivas cuerdas de un gráfico estrictamente cóncavo son estrictamente decrecientes, y $\sqrt x$ es estrictamente cóncavo. Por lo tanto, $\sqrt{x +2} - \sqrt{x +1} < \sqrt{x +1}-\sqrt{x}$   para todos $x\ge 0.$

Answer 5

Supongamos que la afirmación es cierta \begin {align} \sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} &= \sqrt {x + 1} - \sqrt {x} \\ \sqrt {x + 2} + \sqrt {x} &= 2 \sqrt {x + 1} \\ 2x + 2 + (2 \sqrt {x^2 + 2x}) &= 4x + 4 \\ \sqrt {x^2 + 2x} &= x + 1 \\ x^2 + 2x &= x^2 + 2x + 1 \\ 0 &= 1 \\ \end {align} Lo cual es una contradicción. Ahora no estoy seguro de si se me permite manipular la ecuación de esta manera por lo que la prueba podría ser inválida. La razón por la que pensé que podía era que había visto una lógica similar en la demostración de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ .