Deje $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ ser un holomorphic función de con $f(z+1)=f(z)$. Entonces ¿cómo se puede expandir en serie de Fourier $$f(z)=\sum\nolimits_{n\in \mathbb{Z}} a_n e^{2\pi inz}?$$ En otras palabras, ¿qué es $a_n$?
Muchas gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La restricción de $f$ a $\mathbb R$ es periódica, por lo que el $a_n$ están dadas por la fórmula habitual $$a_n=\int_0^1e^{-2\pi int}f(t)\,dt.$$
Edit: Ahora que el OP pregunta ¿cómo sabemos que la serie converge a $f$ en el avión. Esa es una cuestión diferente.
(Edición de${}^2$: Para ser justos, la lectura de la pregunta de nuevo supongo que esta pregunta es realmente parte de el post original - yo estaba concentrado en la última frase de la pregunta.)
Hay al menos dos maneras para probar esto, un elemental análisis de Fourier y uno por no-todo-lo-primaria el análisis complejo. Ambos parecen que vale la pena:
La prueba mediante el análisis de Fourier:
En primer lugar recordar un poco de primaria análisis de Fourier:
Si $f\in C(\mathbb R)$ es periódica y tiene absolutamente convergente serie de Fourier, a continuación, $f$ es igual a su serie de Fourier.
Sketch: Decir $g$ es la suma de la serie de Fourier. A continuación, $\hat g(n) = \hat f(n)$ (ya que la serie de Fourier converge uniformemente), por lo tanto, por algún argumento o de otro $g=f$.
Cor Si $f\in C^2(\mathbb R)$ es periódica, a continuación, $f$ es igual a su serie de Fourier.
Prueba: Integración por partes muestra que $|\hat f(n)|\le c/n^2$.
Ahora supongamos que $f$ es todo y $f(z+1)=f(z)$. Aplicando el Corolario $f(.+iy)$ muestra que para cada $y\in\mathbb R$ existen coeficientes de $a_n(y)$ tal que $$f(x+iy)=\sum a_n(y)e^{2\pi i nx};$$in fact $$a_n(y)=\int_0^1f(t+iy)e^{-2\pi i nt}\,dt.$$For $z\in\mathbb C$ define $$g_n(z)=\int_0^1f(z+t)e^{-2\pi int}\,dt,$$so that in particular $$a_n(y)=g_n(iy).$$
Es fácil ver que $g_n$ es una función completa (se diferencian en virtud de la integral, o aplicar Morera y Fubini.) Si $x\in\mathbb R$, a continuación, periodicidad muestra que $$\begin{aligned}g_n(x)&=\int_0^1f(x+t)e^{-2\pi int} \\&=\int_x^{x+1}f(t)e^{-2\pi in(t-x)}\,dt \\&=e^{2\pi inx}\int_x^{x+1}f(t)e^{-2\pi int}\,dt \\&=e^{2\pi inx}a_n(0).\end{aligned}$$Sine $g_n$ and the exponential are both entire it follows that $$g_n(z)=e^{2\pi inz}a_n(0),$$o en particular $$a_n(y)=g_n(iy)=e^{-2\pi ny}a_n(0).$$
Así $$a_n(y)e^{2\pi inx}=e^{2\pi in(x+iy)}a_n(0),$$ so the Fourier expansion of $f(.+iy)$ above reduces to $$f(z)=\sum a_n(0)e^{2\pi inz}.$$
Nota de curso un resultado similar se mantiene, con la misma prueba, para funciones de holomorphic en cualquier franja horizontal $A<y<B$.
La prueba mediante el análisis complejo parece más rápido, pero tal vez menos la primaria o la más sutil:
La prueba mediante el análisis complejo:
Decir $\mathbb C'=\mathbb C\setminus\{0\}$. Desde $f(z+1)=f(z)$ existe $g\in H(\mathbb C')$ tal que $$f(z)=g(e^{2\pi iz}).$$
(¿Por qué? No quiero hablar de ello en detalle - ya tenemos otra prueba, y de hecho así se desprende del resultado de la misma. La existencia de $g$ es claro a partir de hechos básicos acerca de la cobertura de los mapas. O, más o menos de forma equivalente, puede utilizar una rama de $\log(z)$ a mostrar existe una $g$ a nivel local y, a continuación, mostrar que tiene una continuación analítica a todos los de $\mathbb C'$.
No cite a mí mismo, pero la única referencia que me he enterado por la cobertura de mapa argumento es el Teorema de 19.0.9 en Complejo en Simple - también se nota Corolario 19.0.10.)
Ahora expandir $g$ en una Laurent de la serie y listo.
