¿Dónde encontrar integrales interesantes para un estudiante de Calc III?

Question

Me disculpo de antemano si esto es muy suave pregunta. No me sorprenderé ni me ofenderé si no consigo una buena respuesta.

Una de las cosas que más me gusta hacer en mi tiempo libre, cuando me siento analítico por supuesto, es evaluar integrales, tanto definidas como indefinidas. Sin embargo, he tenido poco éxito aquí en Math.SE tratando de encontrar integrales que cumplan con mis criterios.

O bien la integral en cuestión va más allá de los métodos que entiendo para evaluarla (normalmente utilizando la integración de contornos), o es tan trivial que no me puedo molestar en escribirla. He buscado en Internet algunas integrales interesantes, y he encontrado el MIT Integration Bee, pero tampoco son tan difíciles. Hay algunas decentes en mi libro de texto de cálculo multivariable, pero también se me están acabando.

¿Hay algún lugar específico en el que deba buscar algo interesante, difícil pero factible sin un análisis complejo? Específicamente aquellos en los que podamos evaluar a través de trucos como sustituciones inteligentes o la explotación de la simetría o el cambio de coordenadas, etc.

Answer 1

Te daré como reto uno de mis problemas favoritos de integración doble. Hay muchas formas de hacerlo (incluso sin cálculo, como lo habría hecho Arquímedes); a ver si encuentras la más elegante y eficiente.

Halla el volumen de la región dentro de los tres cilindros $$x^2+y^2=a^2, \quad x^2+z^2=a^2, \quad y^2+z^2=a^2.$$

P.D. Para un poco de desafío en la configuración de una sola variable, puede probar los problemas "Potpourri" en el libro de Spivak Cálculo (en las últimas ediciones, es el número 8 del capítulo 19).

Answer 2

Como no estoy familiarizado con el contenido de Cálculo III, esto podría estar en el nivel equivocado. Lo siento si son demasiado simples. Entonces podemos iterar para llegar a un mejor nivel...

1) Dejemos que $a>0$ . Hallar el área de la región encerrada por la curva $x^3+y^3-3axy=0$ . La figura siguiente muestra el dominio en el caso $a=1$ .

2) Dejemos que $a>-1$ y $b>-1$ . Calcule la integral $$ \int_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln x}\,dx. $$

Answer 3

Dejemos que $P$ sea algún polinomio. ¿Cuál es la primitiva de $e^xP(x)$ ?

Answer 4

No estoy exactamente seguro de si esto está en el nivel de cálculo multivariable que está buscando - tal vez demasiado fácil, tal vez demasiado difícil. En cualquier caso, quizás sea interesante, especialmente si te gusta la simetría:

Determinar la integral $$ \int_0 ^1 \int_0 ^1 { \frac{(xy)^k}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^p} } \mathrm{d} x \mathrm{d} y. $$

Answer 5

Este es un gran ejemplo de uso de la integración junto con un poco de habilidad para resumir. Intenta encontrar una forma cerrada de \begin{equation} \Gamma(n,k)=\int_0^1 (-\log x)^{k-1}x^{n-1}dx \end{equation} utilizando la integración por partes.