Donde el poder de la serie de soluciones de la ecuación diferencial que existe?

Question

Sin llegar a la solución de la ecuación diferencial $$(\cos x)y'' + y' + 5y = 0,$$ find lower bounds for the radii of convergence of the power series solutions about $x=0$ and $x=1$.

Alguna idea chicos?

Yo pienso puntos singulares son necesarios para responder a esto. Pero el problema es que no entiendo puntos singulares realmente bien. Me pueden ayudar?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que su ODA puede ser escrito como $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$. Por otra parte, no debería ser un teorema en el libro de texto está usando la cual establece que el radio de convergencia de la potencia de solución de la serie es al menos tan grande como el mínimo de los radios de convergencia de la energía de la serie de $p(x)$ e $q(x)$. El radio de convergencia de $f(x)$, alrededor de $x_0$, es la distancia entre el $x_0$ y el más cercano a la singularidad de $f(x)$. En el plano complejo, $0$ es $(0, 0)$ e $1$ es $(1, 0)$, y el más cercano a la singularidad de $1/\cos x$ (así como de $5/\cos x$) es $\pi/2$ o $(\pi/2, 0)$. Ahora sólo tiene que utilizar el Teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre el $(0, 0)$ e $(\pi/2, 0)$, y la distancia entre el $(1, 0)$ e $(\pi/2, 0)$.