¿Por qué es $x^{-1} = \frac{1}{x}$?

Question

Siempre he dado por sentado que el $x^{-1} = \frac{1}{x}$ porque funciona y todo, pero ¿cómo puedo ver que esto tiene que ser verdad?

Yo no estoy en busca de respuestas del tipo "Si usted tiene $x^n / x^m$, entonces esto es $x^{n-m}$ e lo $x^{0}/x^1 = 1/x = x^{0-1} = x^{-1}$ porque entonces estoy atascado preguntaba si seguramente tiene sentido que $x^{n-m}$ puede ser definido en términos de números negativos (no me atrevo a asumir que debido a que se pueden conectar los números en algo que será válida).

Answer 1

Así que hay una sutil pregunta aquí, podemos comprobar que $x^n * x^m = x^{n+m}$ al $n,m$ son números naturales y $x$ es un número natural. Ahora, la "natural generalización" aquí es simplemente decidir que esa fórmula se aplica para todos los números. A partir de ahí podemos calcular que para valores negativos. Por supuesto, hay otras, mucho menos práctico versiones de la exponente, uno podría hacer hasta donde este no espera, y la adición de la regla sólo se aplica cuando n,m son números naturales.

Lo que efectivamente las cantidades a que es encontrar funciones

$$f(x) | f(n+m) = f(n)f(m)$$ Al $n,m$ son números naturales. Exponenciación, en el sentido tradicional es una de las más suaves de las soluciones para esto, pero estoy seguro de que usted puede inventar estrafalario contraejemplo que hace muy muy impredecible cosas en las entradas que no son números naturales.

Por ejemplo, considere la ecuación funcional:

$$ f(n+m) = (f(n) + frac(n)+ 0.5 \delta(x) )(f(m) + frac(m) + 0.5\delta(x))$$

En enteros positivos esto se reduce a

$$ f(n+m) = f(n)f(m)$$

Pero en otros lugares se hace algo radicalmente diferente. Por lo que esta función si se lo considera a partir de los números naturales gustaría idéntica a nuestra exponenciación, pero fuera de allí sería muy muy extraño aspecto, en principio, $f(-1)$ no sería nada parecido a $\frac{1}{x}$

Pero, el principio rector de aquí, entonces, no es "LO que ES MATEMÁTICAMENTE CORRECTO", esto es, lo que hace más sentido usar. Y la mayoría de los naturales de la herramienta, a continuación, es el original exponencial de la forma que estamos acostumbrados.

Answer 2

Dado $a,b,c$ a partir de cualquier conjunto de $Y$, con una multiplicación definida y $1$ es la correspondiente multiplicación de identidad. Por definición,

• $\frac{a}{b}$ es la única $y \in Y$ (si existe) de forma tal que $yb = a = by$.
• $c^{-1}$ es la única $y \in Y$ (si existe) de forma tal que $yc = 1 = cy$.

Sustituto $a$ por $1$ e $b, c$ por $x$, nos encontramos con una definición de $\frac{1}{x}$ e $x^{-1}$ reducir a la única $y$ en $Y$ (si existe) de forma tal que $yx = 1 = xy$. Como resultado, $\frac{1}{x} = x^{-1}$ siempre tienen sentido.

Answer 3

Estoy asumiendo que usted está de acuerdo $x^n=\frac{x^{n+1}}{x}$ por entero positivo $n$ (tenemos que empezar desde algún lugar de todos modos ya que de lo contrario, se debería empezar con la filosofía de los números!). De esta manera se consigue una fórmula recursiva para el cálculo de los anteriores términos, por lo tanto una extensión a cero y negativo de competencias ($n=0$ e $n<0$).

Para $n=0$ tenemos $$x^0=\frac{x^{0+1}}{x}=\frac{x}{x}=1$$ Similarly, for $n=-1$ it becomes $$x^{-1}=\frac{x^{-1+1}}{x}=\frac{x^{0}}{x}=\frac{1}{x}$$ where we used $x^0=1$ from the previous equation. The same approach is used for $x^{-2}$, etc.

Answer 4

Supongo que tenemos que empezar en algún lugar.

definición: $$e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

Tomamos nota de que $e^{\log(a)x}=(e^{\log(a)})^x=a^x$ donde $\log(x)$ es la inversa de a $e^x$. También tenga en cuenta que esto está bien definido ya que la suma converge por el coeficiente de prueba.

Ver aquí para el equivalente de las definiciones, y usted puede utilizar el límite de la definición para demostrar su deseo de identidad, tomando la definición de $a^x$ dado anteriormente.

El punto es, que la exponenciación es la única función en la que el o la tasa de crecimiento es proporcional al valor de la función en sí. Nos gusta esta propiedad de más de $\mathbb{N}$ (i.e: $a^{n+1}/a^n=a$) [a lo largo de con $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$], por lo que es razonable extender a los números reales, y el $\exp$ función es una manera de hacer esto de manera rigurosa, a pesar de que en los números naturales, la función debe coincidir con la definición habitual de exponenciación...

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Si su interés era de poco más de $\mathbb {Q} $ nota de que ese $x^{-1} $ es el inverso multiplicativo, como ha sido descrito por otros respuestas.

Answer 5

No es cierto siempre... hecho.

Todo depende de lo que establezca que usted está trabajando.

Una cosa más notable es $x^{-1}$ es sólo una notación para representar un inverso de un elemento $x$(en su mayoría para la multiplicación o la segunda operación, se considera en un anillo).

Ahora, vamos a venir a nuestro caso.

Supongamos que mi set es $\mathbb R$, el conjunto de los números reales. A continuación,

el inverso multiplicativo será fácil de conseguir por $\frac 1 x$.

Por lo tanto, $x^{-1}=\frac 1 x$.

Pero, supongamos que mi set es $\mathbb Z$, el conjunto de los enteros.

estamos no quiere decir que $x^{-1}=\frac 1 x$, ya que la existencia de $x^{-1}$ es en sí mismo un signo de interrogación. Es decir, ¿cuál es la inversa de $2$?

Concluyendo que, $x^{-1}$ es sólo una representación para el inverso de un elemento en un conjunto dado en el conjunto dado con respecto a la segunda operación(o multiplicación).

Espero que sea de ayuda..