No es sencillo responder a su pregunta. En general, cuando uno escribe la expresión de la $H^i(X,\mathcal F)$, uno tiende a pensar ofhaving $X$ fijo, y $\mathcal F$ variable, y por lo que uno piensa de la cohomology como la medición de las propiedades de $\mathcal F$, en lugar de sólo el espacio $X$.
A fin de pensar en cohomology como la medición de una propiedad de $X$, en lugar de $\mathcal F$, tenemos que elegir a un $\mathcal F$ que tiene sentido para todos los $X$. Una forma es tomar $\mathcal F$ a ser una constante gavilla, como (la constante de la gavilla adjunta) $\mathbb Z$ de %de$\mathbb C$.
Entonces obtendremos $H^i(X,\mathbb Z)$ o $H^i(X,\mathbb C)$, lo cual está de acuerdo con singular cohomology (razonable de los espacios de $X$), y que tiene varios conocidos interpretaciones y heurísticas en términos de las propiedades topológicas de $X$.
Otra opción, cuando $X$ es una variedad lisa, es llevar a $\mathcal F$ a $\Omega_X^p$ para algunos $p \geq 0.$ (en El caso de $p= 0$ da $\mathcal O_X$, y en el caso de $p = 1$ da $\Omega_X$ sí. )
(De hecho, no hay muchas otras expresiones para $\mathcal F$ que se puede escribir que se definen para un arbitrario variedad lisa $X$. Uno también puede tomar la tangente del paquete y su exterior poderes, en lugar de la cotangente del paquete, y uno podría tomar simétrica poderes en lugar de exteriores de poderes, o de manera más general, las combinaciones de simétrica y exterior de poderes. Por ejemplo, $H^0$ de las competencias de la canónica de paquete, es decir, $\Omega_X^d$ donde $d = \dim X$, dan la llamada plurigenera de $X$.)
La dimensión de $H^q(X,\Omega^p_X)$ es denotado $h^{p,q}$, y esta colección de números se llama la Hodge números de $X$. Ellos son el objeto de lo que se llama teoría de Hodge, y una de las claves hecho acerca de ellos es que si $X$ es un buen proyectiva variedad de más de $\mathbb C$, luego
$$\sum_{p+q = n} h^{p,q} = \dim H^n(X,\mathbb C).$$
E. g. una suave curva proyectiva $X$, nos encontramos con que
$$h^{1,1} = \dim H^1(X,\Omega^1_X) = \dim H^2(X,\mathbb C) = 1,$$
la última igualdad siguiente porque como un colector $X$ es compacto y orientado, de dimensión dos, y así su $H^2$ es unidimensional, se extendió por la clase fundamental. Así que la respuesta a tu pregunta "¿qué hace el Riemman esfera [o cualquier curva] tiene uno de" es "tiene una clase fundamental".
Tenga en cuenta también que un género $g$ curva, $h^{1,0} = h^{0,1} = g,$ y estos
agregar a dar $2g$, que es la dimensión de la $H^1(X,\mathbb C)$. (En general, Hodge simetría dice que $h^{p,q} = h^{q,p}$.)
Resumen/conclusión: tal vez la más interesante y sugestivo respuesta a tu pregunta viene de la teoría de Hodge, y entonces tal vez esta es una dirección que se debe explorar.
