Vamos a ver.

Question

mi intento$$\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{f(x)}{g(x)}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\text{ yields }\frac{0}{0} luego use l'hopital en este

PS

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$$\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{f(x)}{g(x)}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} =\lim_{x\to \infty} \frac{\frac{f'}{g}-\frac{fg'}{g^2}}{\frac{f''}{g'}-\frac{f'g''}{g'^2}}$$ $\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{f(x)}{g(x)}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} =\lim_{x\to \infty} \frac{\frac{f'}{f}\frac{f}{g}-\frac{f}{g}\frac{g'}{g}}{\frac{f''}{f'}\frac{f'}{g'}-\frac{f'}{g'}\frac{g''}{g'}}$ L $, lleva a

PS

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Estoy atrapado aquí ..

Realmente me gustaría demostrar que$$\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{f}{g}}{\frac{f'}{g'}} =\lim_{x\to \infty} \frac{\frac{f}{g} \left( \frac{f'}{g'}-\frac{f}{g}\right)}{\frac{f'}{g'} \left( \frac{f''}{f'}-\frac{g''}{g'}\right)} $no es cero y no$ assuming such limits exists, and equal to $. La prueba es obvia para las funciones polinomiales f, yg, y no puedo encontrar ningún ejemplo contrario. Cualquier ayuda sería muy apreciada. ..

Podemos asumir que la condición inicial proviene de usar apropiadamente l'hopital

Answer 1

Deje$f(x)=e^{-x^2}$ y$g(x)=e^{-x}$.

Answer 2

Acabo de ver Barry Cipra había dado la misma respuesta...no está seguro de cómo podría haber perdido.

Si $f=e^{-x^2}$ e $g=e^{-x}$, se obtiene $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f}{g} =\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'}{g'} =\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f/f}{g/g'} =0$$ que es un contra-ejemplo para su hipótesis.

Para la hipótesis alternativa ($L=\infty$), se puede establecer $f=e^x$, $g=e^{x^2}$ para obtener $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f}{g} =\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'}{g'} =0, \quad \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f/f}{g/g'} =\infty.$$

Answer 3

Esto parece que sería requieren algún tipo de lema que describe el comportamiento de los productos y cocientes de $\ f:f'::f':f"$. Puedes factor de $\ f'/g'$ fuera de la expresión se detuvo, pero luego son atrapados con una diferencia cociente con a diferencia de los términos. Sin un riguroso lema que permitiría sustituir los límites de el divisor y el dividendo con cantidades conocidas, parece poco probable que usted sería capaz de simplificar aún más. Voy a publicar más si se me ocurre algo más. Interesante post y concepto, sin embargo.

Uno con una diferente que pensé es que podría ser necesario demostrar primero que forma indeterminada, nunca es cero, pero creo que es una definición y no es demostrable porque forma indeterminada, tiene elementos lógicos que corresponden a un número definido y que están siempre indefinido (es decir, $\ n/0$).

Con respecto a algunas de las respuestas ... Vamos declaraciones pueden refutar la hipótesis, pero la pregunta sigue siendo "por qué" lo hacen. En el anterior vamos declaraciones, la razón, la hipótesis puede ser refutada, es porque ya comenzó con la suposición de que la forma indeterminada, puede ser determinado a no ser cero.