Muestre que$AB-BA\ne C$ para cada% real $3\times 3$matrices$A$ y$B$ y algo específico$3\times3$ matrix$C$

Question

Demuestre que no pueden existir matrices reales$3 \times 3$$A$ y$B$ tal que

$$ AB-BA = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end {bmatrix} $$

No tengo idea de resolverlo ya que tanto$A$ como$B$ son desconocidos.

Answer 1

Puede emplear la traza para esto: Para cualquier dos$3\times 3$ - matrices$A$,$B$ tenemos${\rm Tr}(AB) = {\rm Tr}(BA)$. Por lo tanto,${\rm Tr}(AB-BA) = 0$ para todos$A$ y$B$. Dado que${\rm Tr}(\begin{pmatrix}1 & 0& 1\\0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}) = 3\neq 0$, no existe$A$,$B$, tal que$AB-BA = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$.