Prueba : $$ \text{If } \; x-\lfloor x \rfloor + \frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor = 1 \text{, then } x \text{ is irrational.}$$
Creo que el camino a seguir aquí es asumir falsamente que $x$ es racional, por lo que tiene $x=\frac mn$ con $m,n$ enteros y van con eso, también sabemos que $x$ con la célula pertenece a los enteros y que $\frac 1x$ con la celda tiene que ser un $0$ . Todavía no puedo probarlo. Gracias de antemano.
$x-\lfloor x\rfloor+{1\over x}-\lfloor {1\over x}\rfloor=1$ implica $x^2-kx+1=0$ , donde $k=\lfloor x\rfloor+\lfloor {1\over x}\rfloor+1$ es un número entero. No importa que $k$ depende de $x$ las únicas soluciones racionales posibles son $x=\pm1$ .
Pero si $x=\pm 1$ entonces $x - \lfloor x \rfloor + \frac 1 x - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor = 0$ .
@nikolita, primero mueve el $1$ a la izquierda y lo recogemos junto con los dos términos de la función suelo para obtener lo que yo llamo $k$ . Esto le da $x^2-k+{1\over x}=0$ . A continuación, multiplique ambos lados por $x$ .
Supongamos que $x = 1$ . Entonces $x - \lfloor x \rfloor + \frac 1 x - \lfloor \frac 1 x \rfloor = 0$ .
Supongamos que $x = m/n$ , $m,n \in \mathbb Z$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x > 1$ así que $m/n = m' + m''/n$ para algunos $m' \in \mathbb Z$ , $0 < m'' < n$ y $1/x = n/m$ .
Así que $x - \lfloor x \rfloor + \frac 1 x - \lfloor \frac 1 x \rfloor = m''/n + n/m = 1$ así que $m''m + n^2 = nm$ así que $(m - m'n)m +n^2 = nm$ así que $m^2 - mn(m' + 1) - n^2 = 0$ . La ecuación cuadrática no da soluciones enteras para $m$ o $n$ .
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Obsérvese que, debido a la simetría de los papeles para $x$ y $1/x$ podemos suponer $|x| \le 1$ .