La topología inducida por la norma de una normativa espacio vectorial es tal que el espacio es un espacio vectorial topológico.
Me pueden decir si mi prueba es correcta? Por supuesto, tenemos que demostrar que la suma y la multiplicación escalar se continua con respecto a la topología producto (inducida por la norma).
(1) Para mostrar que el $(x,y) \mapsto x + y$ es continua deje $\varepsilon > 0$. Puedo mostrar que la norma $\|\cdot\|_{V \times V}: V \times V \to \mathbb R$ define como $\|(x,y) - (x_0, y_0) \| = \|x-x_0\| + \|y_0 - y\|$ induce la misma topología la topología producto en $V \times V$. Por lo tanto podemos elegir $\delta = \varepsilon$ conseguir $$ \| (x+y) - (x_0+y_0)\| \leq \|x-x_0\| + \|y-y_0\| < \delta = \varepsilon$$
(2) Para mostrar que $V \times K \to V$, $(v, \alpha) \mapsto \alpha v$ es continua en $(v,\alpha)$, se observa que la $$\| \alpha v - \beta w\| = \| \alpha v - \beta w + \alpha w - \alpha w\| = \|\alpha(v-w) + (\alpha - \beta) w\| \leq |\alpha| \|v-w\| + |\alpha - \beta| \|w\|$$
Por lo tanto $\| \alpha v - \beta w\| < \varepsilon$ si $\|v-w\| < \frac{\varepsilon}{2 |\alpha|}$ e $|\alpha - \beta| < \frac{\varepsilon}{2 \|w\|}$. Por desgracia, la segunda desigualdad depende de $w$. ¿Cómo puedo hacer que sea independiente de $w$? Gracias.
