¿Hay un grupo de números cuyos cuadrados están formados por cuadrados? Por ejemplo,$7$ sería uno porque$7^2$ es$49$ que tiene$2^2$ y$3^2$. $20$ sería otro ejemplo.
¿Cómo se llaman estos números?
Por favor, ayúdame a encontrar buenas etiquetas para esta pregunta.
OEIS los llama números cuyo cuadrado es una concatenación no trivial de otros cuadrados , y llama a la secuencia de sus cuadrados cuadrados que son una concatenación decimal de dos o más cuadrados . Una de las referencias de esta última secuencia llama a los [números] cuadrados cuadrados-parciales-digitales de Smarandache .
No estoy de acuerdo con la toma de $20$ como el número de ese tipo ( o trivial en cuyo caso $10, 30,40,50,60,70,80,90$ están demasiado).
Mostramos aquí que el único número de dos dígitos con cuatro dígitos del cuadrado de este tipo es $41$. Mirando el algoritmo de extracción de la raíz cuadrada en la siguiente figura podemos escribir
$$ab=x^2\Rightarrow 4\le x\le 9$$ $$y(20x+y)=cd=z^2\Rightarrow y(20x+y)\le 81\Rightarrow x=4$$
Por lo tanto $$y(80+y)\le81\Rightarrow y=1$$ No hay otra posibilidad. De hecho, $41^2=1681$ como quisiéramos.
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