¿Es esta una correcta definición de secuencia recursiva?

Question

Toma esta definición:

¿Es correcta esta definición de$s_k$ para$k\ge2$?

$s_k=6a_{k-1}-5a_{k-2}$ pero ¿de dónde proviene el término$a$?

El libro intercambia$a$ y$s$ de manera intercambiable.

Answer 1

Si la secuencia$(a_k)_k$ está bien definida, no hay nada de malo en esa definición. Debe proporcionarnos más detalles sobre$(a_k)_k$ si desea más ayuda.

Si$a$ fuera reemplazado por$s$ en la definición, aún sería correcto.

Answer 2

Si$a$ es un error tipográfico para$s$, como dicen los comentarios, esto se puede resolver. Defina la función de generación$S(z) = \sum_{n \ge 0} s_n z^n$. Reorganice la recurrencia para que no haya restas en los índices: $$ s_ {n + 2} = 6 s_ {n + 1} - 5 s_n $$ Multiplique por$z^n$, suma sobre$n \ge 0$, reconozca: \begin{align} \sum_{n \ge 0} s_{n + 1} z^n &= \frac{S(z) - s_0}{z} \\ \sum_{n \ge 0} s_{n + 2} z^n &= \frac{S(z) - s_0 -s_1 z}{z^2} \end {align} para terminar con: $$ \ frac {S (z) - 4 z} {z ^ 2} = 6 \ frac {S (z)} {z} - 5 S (z) $$ Resolviendo para$S(z)$, como fracciones parciales: $$ S (z) = \ frac {1} {1 - 5 z} - \ frac {1} {1 - z} $$ Esto es solo dos geométricas serie: $$ s (n) = 5 ^ n - 1 $$

Answer 3

Desde que se llegó a la conclusión de que había un error tipográfico, ofreceré una solución de valor propio como alternativa a una función de generación. Entonces tenemos $\lambda^{2} - 6\lambda + 5 = 0$. Esto nos da valores propios de$\lambda = 1, 5$.

Luego configuramos nuestra ecuación de forma general:$s_{k} = A + B * 5^{k}$.

Al resolver$s_{0} = 0 = A + B$, obtenemos$A = -B$.

Luego resolvemos$s_{1} = -B + 5B = 4$, así que$B = 1$.

Y así,$s_{k} = 5^{k} - 1$, la misma solución dada por la función de generación.