Probar si una determinada matriz existe o no

Question

La pregunta es:

¿Existe una forma natural de $n$ y $A\in M_{n}(\mathbb C)$ (complejo $n\times n$ matrices) tales que las condiciones

\begin{align} \operatorname{rank}(\,A\,) &= 10\\ \operatorname{rank}(A^2) &= 7\\ \operatorname{rank}(A^3) &= 2 \end{align}

¿están satisfechos? Proporcione un ejemplo o demuestre que no existe.

Está claro que $10\le n$ y porque $A$ no es invertible significa que $11\le n$ . He tratado de encontrar un ejemplo utilizando bloques Jordan: hay dos bloques con el tamaño de $4$ o un bloque con el tamaño de $5$ para responder en el tercer término. Luego he intentado rellenar la matriz con un bloque de 3 pero no funciona. Tampoco tengo idea de cómo demostrar que dicha matriz no existe.

Answer 1

Tu idea de utilizar la forma normal de Jordan es buena. Ten en cuenta que la única forma de que el rango de tu matriz disminuya a medida que tomas sucesivas potencias es si la matriz contiene bloques nilpotentes de Jordan (correspondientes a vectores propios/vectores propios generalizados con valor propio $0$ ). Llamamos a los bloques nilpotentes de Jordan $N_1,\dots,N_k$ . Sin pérdida de generalidad podemos suponer que ningún bloque de Jordan con valor propio $0$ es un $1\times 1$ ya que si este es el caso, podemos limitarnos a los bloques de Jordan no nulos ignorando los bloques extraños. Obsérvese que como el rango de $A$ es $10$ examinando la estructura de $N_i$ podemos ver que el rango de $A^2$ es $10-k$ por lo que debemos tener exactamente $3$ bloques nilpotentes de Jordan. Pero ahora es fácil ver que, en general, el rango $(A^m)\geq$ rango $(A)-(m-1)k$ , por lo que como $k=3$ debemos tener rango $(A^3)\geq 10-2\cdot3=4$ . En particular, no hay tal $A$ puede existir.

Answer 2

Cada bloque de Jordania $J$ de tamaño $m$ es de la forma $\lambda I + N$ donde $N$ tiene $m-1$ en su superdiagonal y satisface $N^m=0$ . Entonces, observando que $I$ conmuta con cualquier matriz) tenemos que

$$J^k= \sum_{i=0}^{\max\{m,k\}} \lambda^{k-i}N^i.$$

En particular, para $\lambda\neq 0$ tenemos $J^k=\lambda^k\sum_{i=0}^{\max\{m,k\}} \lambda^{-i}N^i$ , de modo que para $l\geq0$ tenemos

$$J^{m+l}=\lambda^l J^m,$$

que también es válida cuando $\lambda =0$ . Esto nos hace pensar que podríamos intentar trabajar con bloques Jordan de diferentes tamaños. Pero, ¿cómo se comporta un bloque de Jordan en particular?

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Cuando $\lambda \neq 0$ Cada bloque de Jordan, como matriz, no tiene valores propios nulos, por lo que todas sus potencias tienen rango completo. Por lo tanto, la única manera de que el rango de $J^k$ para bajar es si $J$ se asocia a $\lambda =0$ .

Ahora, un bloque Jordan con $\lambda=0$ es sólo $N$ y es fácil ver qué poderes de $N$ parecer.
En particular, se puede comprobar que $N$ tiene rango $m-1$ y que además cada multiplicación adicional por $N$ reduce aún más el rango en $1$ hasta que lleguemos a $0$ .

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Teniendo en cuenta esto, tenemos que $A$ comienza con el rango $10$ . Si $A^2$ tiene rango $7$ , $A$ debe tener exactamente $3$ Bloques de Jordania asociados a $\lambda = 0$ .

Se deduce que otra multiplicación por $A$ puede reducir el rango en como máximo $3$ Esto sucedería si todos esos bloques de Jordan tuvieran el tamaño $3$ o más. Dado que el requisito es que $A^3$ tienen rango $2$ Una reducción de $5>3$ vemos que no hay tales $A$ y $n$ .