Cómo probar$(2^m-1)\nmid(2^n+1)$ si$m>2$

Question

Deje que$m,n$ sean enteros positivos, y$m>2$, muestre que$$(2^m-1)\nmid(2^n+1)$ $

si$m=n$ es una retención clara, porque$\dfrac{2^n+1}{2^n-1}=1+\dfrac{2}{2^n-1}\notin N$

y si$m>n$, entonces tenemos$$2^m-1\ge 2^{n+1}-1>2^n+1$ $ entonces este caso también se mantiene. Pero$m<n$ parece difícil probarlo

y tal vez este problema tenga otros métodos, gracias.

Answer 1

Vamos a utilizar el siguiente resultado un par de veces:
${\;\;\;\;\;\;}$ Demostrar que $\gcd(a^n - 1, a^m - 1) = a^{\gcd(n, m)} - 1$

Supongamos que $2^m-1\mid2^n+1$.

Entonces $$\begin{align*}2^m-1\mid2^{2n}-1&\implies\gcd(2^m-1,2^{2n}-1)=2^m-1\\ &\implies2^{\gcd(m,2n)}-1=2^m-1\\ &\implies \gcd(m,2n)=m\\ &\implies m\mid2n.\qquad(1)\end{align*}$$

En el otro lado $$\begin{align*}&\gcd(2^m-1,2^n-1)\mid\gcd(2^n+1,2^n-1)=\gcd(2^n+1,2)=1\\ &\implies2^{\gcd(m,n)}-1=1\\ &\implies\gcd(m,n)=1.\qquad(2)\end{align*}$$

La combinación de $(1)$ e $(2)$ da $m\mid2$.

Nota: exactamente De la misma manera podemos demostrar que $3^m-1\mid3^n+1\implies m\mid2$. Para $a>3$, $a^m-1\mid a^n+1$ es imposible, ya que la CARTA no es divisible por $a-1$.

Lado comentario:se puede observar que la deducción de $(1)$ generaliza a:
${\;\;\;\;\;\;}$ Mostrando que $a^n - 1 \mid a^m - 1 \iff n \mid m$

Answer 2

El quesion es si es posible que $$ 2^m-1 | 2^n +1 $$

Por supuesto, en general, esto requiere que el $m \lt n$ (excepto posiblemente $m,n$ pequeñas cantidades, consulte a continuación para esto).

Así que vamos a $n=am+r$ donde $0 \le r \lt m$ .

Entonces podemos derivar

$\qquad 2^{am+r} +1 = 2^{am}2^r +1 \\ \qquad \qquad \qquad = (2^{am}-1)2^r +2^r+1 \\ \qquad \qquad \qquad = (2^{am}-1)2^r +(2^r+1) $

Es bien sabido, que el $2^{am}-1$ es divisible por $2^m-1$ , así que si, de hecho, $(2^m-1) | (2^n-1)$ hemos

por una parte, que el $(2^m-1) | (2^{am}-1)$

y por otro lado por tanto, debe ser verdad, que $2^m-1 | 2^r+1$

Pero esto sólo puede ser cierto si $m=2,r=1$ e $2^2-1 = 3 |2^1+1 = 3 $ y nunca más debido a $r<m$, por definición.

Answer 3

Negar. $ $ Entonces $\ m\mid 2n\ $ por$\,\ 2^m\!-\!1\mid 2^n\!+\!1\mid 2^{2n}\!-\!1.\ $ Tenga en cuenta que$\, \ \color{#c00}2 = {2^n\!+\!1-(2^n\!-\!1)}\ $ así

$2\nmid m\ \ \,\Rightarrow\,\ \ m\mid n \ \,\Rightarrow\,\ 2^m\!-\!1\mid 2^n\!+\!1,\,2^n\!-\!1 \ \Rightarrow\ 2^m\!-\!1\mid\color{#c00}2 \,\Rightarrow\, m=1,\ $ else

$2\mid m\,\Rightarrow\, m/2\mid n \Rightarrow\!\!\!\!\!\! \underbrace{2^{m/2}\!\!-\!1\mid 2^n\!+\!1}_{\Large 2^{\Large m/2}-1\mid 2^{\Large m}-1\mid 2^{\Large n}+1 }\!\!\!\!\!\!\!, 2^n\!-\!1 \Rightarrow 2^{m/2}\!-\!1\mid\color{#c00}2 \,\Rightarrow\, m=2,\: $ contra$\ m>2$.