¿Por qué contribuyen tantos perímetros de medio círculo $0$ a la respuesta en la integración de contornos?

Question

A menudo, cuando uno está calculando la integral sobre la línea real para un integrando irritante, es conveniente utilizar la integración de contorno en el plano complejo. Entonces, muy a menudo nos encontramos integrando sobre el semicírculo en el semiplano superior (o, menos canónicamente, inferior). Estos casi siempre (lenguaje coloquial, no de Lebesgue) van a cero. ¿Cuál es la razón intuitiva de esto? No veo ninguna razón para esperarlo, pero por supuesto entiendo que normalmente acabamos con

$$\dfrac{R^n}{R^m+\mathcal{O}(R^l)},$$

donde $l<m$ y $n<m$ y enviando $R\to\infty$ es por lo que va a $0$ Pero, ¿qué intuitivo ¿la forma de pensar puede llevarnos allí? Estoy buscando algo en la línea de "por supuesto que el semicírculo superior contribuye con cero porque (pequeña ocurrencia)", similar a cómo les digo a mis estudiantes que la dependencia de la derivada implícita en ambos $x$ y $y$ para un círculo tiene sentido, ya que los círculos no son funciones y necesitamos ambos valores para determinar de qué punto estamos hablando.

Soy consciente de esta cuestión:

¿por qué el círculo en el infinito no contribuye a la integral?

pero se trataba más del problema específico que de la intuición general, creo.

Esta pregunta también existe, y es útil:

¿Razón intuitiva de por qué muchas integrales complejas desaparecen cuando la trayectoria se "infla"?

Pero sigo pensando que esa intuición debe existir en alguna parte, y encontré las respuestas allí útiles, pero no satisfactorias.

Answer 1

Puede ser que el fenómeno por el que preguntas sea una ilusión; tal vez ocurra "casi siempre" para las integrales que se pueden hacer de esta manera, no para una integral impropia al azar. Un estudiante de cálculo reflexivo piensa que la mayoría de las funciones continuas son diferenciables, mientras que algunas no tienen antiderivadas, cuando la realidad es justo lo contrario.

Answer 2

La razón por la que la respuesta de Ullrich dice que el fenómeno por el que preguntas es una ilusión es porque sólo ves ese método aplicado en casos en los que el método funciona. Es como si los estudiantes que aprenden cálculo por primera vez pensaran que las derivadas son "fáciles" y las integrales "difíciles" porque las funciones reales que encuentran en un curso de cálculo son las que conocen de la escuela, que tienen todas fórmulas de derivadas simples. Los analistas saben que, en contra de la impresión de los estudiantes de cálculo, la integración es una operación mejor que la diferenciación porque la integral de una función pequeña es pequeña (intuitivamente).

En cualquier caso, se aplica el método de los semicírculos en los casos en que la función que se integra se hace pequeña a lo largo de los semicírculos grandes a medida que el radio se hace grande y donde ese método realmente tiene éxito con el teorema del residuo. Imagina que intentas demostrar la integral de Gauss $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx$ es $\sqrt{2\pi}$ estableciendo una integral de contorno compleja $\int_{\gamma_R} e^{-z^2/2}\,dz$ a lo largo de un contorno semicircular $\gamma_R$ que incluye el intervalo real $[-R,R]$ y alguna otra pieza que conecte $-R$ y $R$ a través del semiplano superior o inferior. No vas a poder avanzar con esto por el teorema del residuo, intuitivamente, porque la función es entera: ¡no hay ningún polo en el que calcular un residuo distinto de cero! Y también la función $e^{-z^2/2}$ hace no se hace pequeño en todas partes cuando $|z|$ es grande: si $z = iy$ es puramente imaginario, entonces $e^{-z^2/2} = e^{y^2/2}$ es enorme como $|z| = |y| \to \infty$ .

Es posible calcular la integral de Gauss utilizando el Teorema del Residuo, como se muestra en la décima prueba ici pero implica una integral de contorno de una función que es no simplemente $e^{-z^2/2}$ .