Forma cerrada de la suma

Question

Tengo la siguiente suma, $$\sum_{j=0}^{\lfloor\frac{i+n-1}{n+2}\rfloor}(-1)^{j}\binom{n}{j}\binom{i+n-j(n+2)-1}{n-1}+\sum_{j=0}^{\lfloor\frac{i+n-2}{n+2}\rfloor}2(-1)^{j}\binom{n}{j}\binom{i+n-j(n+2)-2}{n-1}+\sum_{j=0}^{\lfloor\frac{i+n-3}{n+2}\rfloor}(-1)^{j}\binom{n}{j}\binom{i+n-j(n+2)-3}{n-1}$$ Observa que el límite superior de cada suma es ligeramente diferente en cada término. Me pregunto si existe una forma cerrada para esto. Si no tenemos el último binomio en cada suma entonces habría una forma cerrada pero a este nivel no estoy seguro de cómo obtener la forma cerrada.

Editar: $n$ es un número entero no negativo, y la restricción de $i$ es la siguiente: $0\leqslant i\leqslant n(n+1)+2$ .

Answer 1

Obsérvese que podemos escribir mejor cada término como $$ \eqalign{ & S(k,n)=\sum\limits_{j = 0}^{\left\lfloor {{{i + n - k} \over {n + 2}}} \right\rfloor } {\left( { - 1} \right)^{\,j} \left( \matrix{ n \cr j \cr} \right)\left( \matrix{ i + n - k - j\left( {n + 2} \right) \cr n - 1 \cr} \right)} = \cr & = \sum\limits_{0\, \le j} {\left[ {0 \le i + n - k - j\left( {n + 2} \right)} \right]\left( { - 1} \right)^{\,j} \left( \matrix{ n \cr j \cr} \right)\left( \matrix{ i + n - k - j\left( {n + 2} \right) \cr n - 1 \cr} \right)} = \quad \quad (1) \cr & = \sum\limits_{0\, \le j} {\left[ {0 \le i + n - k - j\left( {n + 2} \right)} \right]\left( { - 1} \right)^{\,j} \left( \matrix{ n \cr j \cr} \right)\left( \matrix{ i + n - k - j\left( {n + 2} \right) \cr i + 1 - k - j\left( {n + 2} \right) \cr} \right)} = \quad \quad (2) \cr & = \left[ {1 \le n} \right]\sum\limits_{0\, \le j} {\left( { - 1} \right)^{\,j} \left( \matrix{ n \cr j \cr} \right)\left( \matrix{ i + n - k - j\left( {n + 2} \right) \cr i + 1 - k - j\left( {n + 2} \right) \cr} \right)} \quad \quad (3) \cr} $$ donde $[P]$ denota el Soporte Iverson
y dónde:
- (1) sustituimos el límite superior por el corchete de Iverson;
- (2) podemos aplicar la reflexión, ya que el término superior del binomio es no negativo;
- (3) podemos omitir el corchete de Iverson, porque para $1 \le n$ está implícito en el binomio.

Tenga en cuenta que $S(k,n)$ equivale a $$ S(k,n) = N_{\,b} (i + 1 - k,\,n + 1,n) $$ donde $$ N_b (s,r,m)\quad \left| {\;0 \leqslant \text{integers }s,m,r} \right.\quad = \sum\limits_{\left( {0\, \leqslant } \right)\,\,k\,\,\left( { \leqslant \,\frac{s}{r+1}\, \leqslant \,m} \right)} {\left( { - 1} \right)^k \binom{m}{k} \binom { s + m - 1 - k\left( {r + 1} \right) } { s - k\left( {r + 1} \right)}\ } $$ es el número que se discute en este post relacionado y también se denomina "coeficiente r-nomial" ya que $$ F_b (x,r,m) = \sum\limits_{0\,\, \leqslant \,\,s\,\,\left( { \leqslant \,\,r\,m} \right)} {N_b (s,r,m)\;x^{\,s} } = \left( {1 + x + \cdots + x^{\,r} } \right)^m = \left( {\frac{{1 - x^{\,r + 1} }}{{1 - x}}} \right)^m $$

Ahora, la suma acumulada de $N_b$ tiene una expresión similar $$ M_{\,b} (t,\,r,m) = \sum\limits_{0\, \le s\; \le \,\,t} {N_{\,b} (s,\,r,m)} = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,\,k\,\,\left( { \le \,{t \over {r + 1}}\, \le \,m} \right)} {\left( { - 1} \right)^k \binom {m}{k} \binom{ t + m - k\left( {r + 1} \right)} {t - k\left( {r + 1} \right) } } $$ pero esto no ayuda a simplificar mucho su suma, ya que siempre dejará tres términos.

El intento de realizar directamente la suma dará: $$ \eqalign{ & S(n) = \left[ {1 \le n} \right]\sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)k\,\left( { \le \,2} \right)} {\left( \matrix{ 2 \cr k \cr} \right)\sum\limits_{0\, \le j} {\left( { - 1} \right)^{\,j} \left( \matrix{ n \cr j \cr} \right)\left( \matrix{ i + n - k - j\left( {n + 2} \right) \cr i + 1 - k - j\left( {n + 2} \right) \cr} \right)} } = \cr & = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)k\,\left( { \le \,2} \right)} {\sum\limits_{0\, \le j} {\left( { - 1} \right)^{\,j} \left( \matrix{ 2 \cr k \cr} \right)\left( \matrix{ n \cr j \cr} \right)\left( \matrix{ i + n - k - j\left( {n + 2} \right) \cr i + 1 - k - j\left( {n + 2} \right) \cr} \right)} } = \cr & = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)k\,\left( { \le \,2} \right)} {\sum\limits_{0\, \le j} {\left( { - 1} \right)^{\,k + j} \left( \matrix{ k - 3 \cr k \cr} \right)\left( \matrix{ n \cr j \cr} \right)\left( \matrix{ i + n - \left( {k + j} \right) - j\left( {n + 1} \right) \cr i + 1 - \left( {k + j} \right) - j\left( {n + 1} \right) \cr} \right)} } = \cr & = \sum\limits_{0\, \le l} {\sum\limits_{0\, \le j} {\left( { - 1} \right)^{\,l} \left( \matrix{ l - j - 3 \cr l - j \cr} \right)\left( \matrix{ n \cr j \cr} \right)\left( \matrix{ i + n - l - j\left( {n + 1} \right) \cr i + 1 - l - j\left( {n + 1} \right) \cr} \right)} } \cr} $$ y no podemos proceder a simplificar aplicando la doble correlación, debido a la presencia de $\left( { - 1} \right)^{\,l}$

En su lugar, podríamos simplificar la suma correspondiente $$ \eqalign{ & S_{\, - } (n) = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)k\,\left( { \le \,2} \right)} {\left( { - 1} \right)^{\,k} \left( \matrix{ 2 \cr k \cr} \right)S(k,n)} = \cr & = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)k\,\left( { \le \,2} \right)} {\left( { - 1} \right)^{\,k} \left( \matrix{ 2 \cr k \cr} \right)\sum\limits_{} {\left( { - 1} \right)^{\,j} \left( \matrix{ n \cr j \cr} \right)\left( \matrix{ i + n - k - j\left( {n + 2} \right) \cr i + 1 - k - j\left( {n + 2} \right) \cr} \right)} } = \cr & = \sum\limits_{0\, \le j} {\left( { - 1} \right)^{\,j} \left( \matrix{ n \cr j \cr} \right)\sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)k\,\left( { \le \,2} \right)} {\left( \matrix{ k - 3 \cr k \cr} \right)\left( \matrix{ i + n - k - j\left( {n + 2} \right) \cr i + 1 - k - j\left( {n + 2} \right) \cr} \right)} } = \cr & = \sum\limits_{0\, \le j} {\left( { - 1} \right)^{\,j} \left( \matrix{ n \cr j \cr} \right)\left( \matrix{ i + n - 2 - j\left( {n + 2} \right) \cr i + 1 - j\left( {n + 2} \right) \cr} \right)} \cr} $$ para que la suma real pueda reducirse a dos términos.

Además de estas, y otras manipulaciones relacionadas, no veo mejores formas.